Entre os anos de 1985 e 1998, o número de transações em caixas eletrônicos nos Estados Unidos (em milhões) variou a taxa dada pela função d Td t=365,8 cdot e^0,03 cdot t, onde t=5, corresponde a 1985. Em 1997, houve 10.980 milhões de transações (Fonte: Bank Network News).
Escreva um modelo para o número total de transações em caixas eletrônicos em função do tempo?

Passo 1

O enunciado nos dá a taxa de crescimento do número total de transações em caixas eletrônicos como dTdt=365,8,e^0,03t, onde t=5 corresponde a 1985, e informa que em 1997 houve 10 980 milhões de transações.

Passo 2

Para achar o modelo de T(t), que é o número total de transações em função do tempo, precisamos integrar a taxa. Integramos:
T(t)=integral 365,8,e^0,03t,dt = 365,80,03e^0,03t+C

Passo 3

Agora identificamos o valor de t para 1997. Como t=5 é 1985, então 1997 corresponde a t=17.

Passo 4

Usamos a condição T(17)=10980 (milhões) para determinar C:
10980=365,80,03e^0,03cdot17+C
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C=10980-365,80,03e^0,51
Substituindo em T(t) obtemos o modelo completo.

Resposta

T(t)=365,80,03e^0,03t+10980-365,80,03e^0,51
ou, de forma mais compacta,
T(t)=365,80,03l(e^0,03t-e^0,51r)+10980

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