Em anos de desenvolvimento, a matemática vem tomando uma significativa importância no cotidiano de todos no decorrer dos tempos, principalmente para os engenheiros. Ela está presente em tudo, em situaçőes cotidianas e em cursos de graduação, seja de forma direta ou indireta. o Cálculo Diferencial e Integral, faz parte de toda a vida acadêmica dos estudantes de engenharia, proporcionando-os a possibilidade de solucionar problemas na profissão escolhida, ou nas diversas áreas do conhecimento de uma forma mais assertiva. Como exemplo, no cálculo de tração, compressão, cisalhamento, tensões e deformações (deformaçőes em barras carregadas axialmente/barras sob a ação do próprio peso), cálculo de áreas, volumes, momentos de inércia, cargas e entre outros.
Fonte: https://repositorio.ufersa.edu.br/server/api/core/bitstreams/e70d1 cfa-24fe-4f5d-b297-0e2931acbbe9/content. Acesso em: 10 ago. 2024.
Sobre a importância dos conteúdos do Cálculo Diferencial e Integral, observe a função a seguir.
f(x)=raizx+1-2 x+4
Com base na função, faça:
Qual o valor da integral da função original, calculada no intervalo de zero até 3 ?

Passo 1

O enunciado pede a integral definida de 0 até 3 da função f(x)=√(x+1)–2x+4, um conteúdo de Cálculo Integral em que precisamos encontrar a antiderivada de cada termo e aplicar os limites de integração.

Passo 2

Usamos a propriedade linear da integral para decompor: integral0^3f(x),dx=integral0^3raizx+1,dx-integral0^32x,dx+integral0^34,dx Isso aproveita a soma e subtração de funções dentro de integrais.

Passo 3

Calculamos as antiderivadas: para √(x+1) usamos substituição u=x+1, du=dx:
integralraizx+1,dx=integral u^1/2,du=23u^3/2+C=23(x+1)^3/2+C
E para os termos polinomiais: integral2x,dx=x^2+C e integral4,dx=4x+C.

Passo 4

Montamos então a primitiva geral:
F(x)=23(x+1)^3/2-x^2+4x
Aplicando os limites:
F(3)=23cdot4^3/2-3^2+4cdot3=163-9+12=163+3=253,
F(0)=23cdot1^3/2-0+0=23

Passo 5

Subtraindo F(3)–F(0) obtemos:
integral0^3f(x),dx=253-23=233

Resposta

233

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