(ITA - 1982) A função
definida por
é uma função:
(a) constante.
(b) sobrejetora e ímpar.
© injetora e ímpar.
(d) injetora e par.
(e) sobrejetora e par.
OA
○
○
○
○
(a) constante.
(b) sobrejetora e ímpar.
© injetora e ímpar.
(d) injetora e par.
(e) sobrejetora e par.
OA
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Passo 1
O enunciado pede para analisar a função f:[0,π/4]→[0,1], dada por f(x)=(1+tg x·tg(x/2))·cos x, e classificar se ela é constante, injetora, sobrejetora, par ou ímpar. Para isso, vamos usar identidades trigonométricas que expressam tan em termos de seno e cosseno e a fórmula de ângulo duplo.
Passo 2
Começamos reescrevendo tan x e tan(x/2):
Então
Substituindo em f(x) temos:
Passo 3
Agora expandimos e simplificamos:
Usando a identidade
, o segundo termo vira
Logo
E como
, concluímos
Passo 4
Como f(x)=1 para todo x em [0,π/4], ela é uma função constante. Portanto a alternativa correta é a letra (a).
Resposta
Função constante (opção a).