(ITA - 1982) A função f:[0, pi / 4] [0,1] definida por
f(x)=(1+tg x cdot tg x2) cos x
é uma função:
(a) constante.
(b) sobrejetora e ímpar.
© injetora e ímpar.
(d) injetora e par.
(e) sobrejetora e par.
OA



E

Passo 1

O enunciado pede para analisar a função f:[0,π/4]→[0,1], dada por f(x)=(1+tg x·tg(x/2))·cos x, e classificar se ela é constante, injetora, sobrejetora, par ou ímpar. Para isso, vamos usar identidades trigonométricas que expressam tan em termos de seno e cosseno e a fórmula de ângulo duplo.

Passo 2

Começamos reescrevendo tan x e tan(x/2):
tan x=sin xcos x, tantfracx2=sintfracx2costfracx2
Então
tan xcdottantfracx2=sin x,sintfracx2cos x,costfracx2
Substituindo em f(x) temos:
f(x)=(1+sin x,sintfracx2cos x,costfracx2)cos x

Passo 3

Agora expandimos e simplificamos:
f(x)=cos x+sin x,sintfracx2costfracx2
Usando a identidade sin x=2sintfracx2costfracx2, o segundo termo vira
2sintfracx2costfracx2,sintfracx2costfracx2=2sin^2tfracx2
Logo
f(x)=cos x+2sin^2tfracx2
E como 2sin^2tfracx2=1-cos x, concluímos
f(x)=cos x+(1-cos x)=1

Passo 4

Como f(x)=1 para todo x em [0,π/4], ela é uma função constante. Portanto a alternativa correta é a letra (a).

Resposta

Função constante (opção a).

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