(ANPEC) Avalie as afirmações abaixo em V (verdadeiro) ou F (falso), justificando sua resposta:
a. ( ) A matriz A=(cccos theta & sen theta sen theta & -cos theta) é ortogonal.
b. ( ) Duas matrizes quadradas de mesma ordem, A e B, são ditas “bem relacionadas” se A B=B A. Dessa forma, as matrizes P=(rrr2 & -2 & -4 -1 & 3 & 4 1 & -2 & -3) e S=(rrr1 & 2 & -4 -1 & -1 & 5 2 & 7 & -3) são bem relacionadas.
c. ( ) Sejam A e B matrizes triangulares inferiores n times n, cujos elementos da diagonal principal são dados por (a11, ldots, an n) e (b11, ldots, bn n), respectivamente. Então, det(A+B)=(a11+b11)(a22+b22) cdots(an n+bn n).
d. ( ) a=67475, b=-2695, c=3475 é solução do sistema linear r a-3 b+6 c=1 5 a+2 b-25 c=0 -7 a-4 b-17 c=0
e. ( ) A Regra de Cramer resolve qualquer sistema equações lineares.
f. ( ) Se A, B, C e O são matrizes quadradas de ordem n, sendo A e C invertíveis e O uma matriz nula (seus elementos são todos iguais a zero), então a matriz D=(llA & 0 B & C), quadrada de ordem 2n, é invertível.
Para os itens (g), (h) e (i), considere M=I-X(X^t X)^-1 X^t, onde Xm times n é uma matriz de ordem m times n, com m>n.
g. ( ) M é simétrica.
h. ( ) M é idempotente.
i. ( ) Seja X uma matriz 100 times 8 com posto igual a 8 e seja I a matriz identidade 100 times 100. Então tr[I-X(X^t X)^-1 X^t]=36, em que tr denota o traço da matriz.

Passo 1

O enunciado pede para julgar como verdadeiras (V) ou falsas (F) nove afirmações sobre teoria de matrizes, envolvendo:
  • (a) ortogonalidade de 2times2;
  • (b) comutatividade de duas matrizes 3times3;
  • (c) determinante de soma de triangulares inferiores;
  • (d) verificação de solução de sistema 3times3;
  • (e) validade geral da Regra de Cramer;
  • (f) invertibilidade de bloco triangular de ordem 2n;
  • (g) simetria de M=I - Xl(X^T Xr)^-1X^T;
  • (h) idempotência de M;
  • (i) cálculo do traço de M quando X é 100times8 de posto 8.

Passo 2

(a) A matriz
A = costheta & sentheta[6pt]sentheta & -costheta
é ortogonal se A^T A = I. Calculando
A^T A = costheta & sentheta[3pt]sentheta & -costheta costheta & sentheta[3pt]sentheta & -costheta = cos^2theta+sen^2theta & 0[3pt]0 & sen^2theta+cos^2theta = I
Logo, (a) é V.]

Passo 3

(b) Para testar comutatividade de
P=2&-2&-4-1&3&41&-2&-3, S=1&2&-4-1&-1&52&7&-3,
basta verificar que (PS)12neq(SP)12. De fato,
(PS)12=2cdot2+(-2)cdot(-1)+(-4)cdot7=-22,
(SP)12=1cdot(-2)+2cdot3+(-4)cdot(-2)=12,
portanto PSneq SP e (b) é F.

Passo 4

(c) Se A e B são triangulares inferiores, A+B também é triangular inferior, mas
det(A+B)neqprodi(aii+bii) em geral (isso só valeria se A e B comutassem e fossem simultaneamente trianguláveis). Então (c) é F.

Passo 5

(d) Substituindo
a=tfrac67475, b=-tfrac2695, c=tfrac3475
no sistema
a-3b+6c=1, 5a+2b-25c=0, -7a-4b-17c=0,
verifica-se moeda a moeda que todas as equações ficam satisfeitas (somam 1, 0 e 0, respectivamente). Logo (d) é V.

Passo 6

(e) A Regra de Cramer só resolve sistemas quadrados com matriz de coeficientes invertível. Não se aplica a qualquer sistema (ex.: sistemas singulares ou não quadrados). Logo (e) é F.

Passo 7

(f) A matriz em bloco
D=A & 0[3pt]B & C
(com A e C invertíveis e 0 nula) tem
det D=det Acdotdet Cneq0,
logo D é invertível. Assim, (f) é V.]

Passo 8

(g) Definindo
M = I - Xl(X^T Xr)^-1X^T,
temos
M^T = I^T - l(X(X^T X)^-1X^Tr)^T = I - Xl(X^T Xr)^-1X^T = M,
logo M é simétrica e (g) é V.

Passo 9

(h) Seja P = X(X^T X)^-1X^T. Então P é projetor idempotente ( P^2=P). Logo
M^2 = (I-P)^2 = I -2P +P^2 = I -P = M,
logo M é idempotente e (h) é V.

Passo 10

(i) Como e , tem-se
Para e , , não . Portanto (i) é F.

Resposta

a. V
b. F
c. F
d. V
e. F
f. V
g. V
h. V
i. F

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