(ANPEC) Avalie as afirmações abaixo em V (verdadeiro) ou F (falso), justificando sua resposta:
a. ( ) A matriz é ortogonal.
b. ( ) Duas matrizes quadradas de mesma ordem, e , são ditas “bem relacionadas” se . Dessa forma, as matrizes e S=(rrr1 & 2 & -4 -1 & -1 & 5 2 & 7 & -3) são bem relacionadas.
c. ( ) Sejam A e B matrizes triangulares inferiores n times n, cujos elementos da diagonal principal são dados por (a11, ldots, an n) e (b11, ldots, bn n), respectivamente. Então, det(A+B)=(a11+b11)(a22+b22) cdots(an n+bn n).
d. ( ) a=67475, b=-2695, c=3475 é solução do sistema linear r a-3 b+6 c=1 5 a+2 b-25 c=0 -7 a-4 b-17 c=0
e. ( ) A Regra de Cramer resolve qualquer sistema equações lineares.
f. ( ) Se A, B, C e O são matrizes quadradas de ordem n, sendo A e C invertíveis e O uma matriz nula (seus elementos são todos iguais a zero), então a matriz D=(llA & 0 B & C), quadrada de ordem 2n, é invertível.
Para os itens (g), (h) e (i), considere M=I-X(X^t X)^-1 X^t, onde Xm times n é uma matriz de ordem m times n, com m>n.
g. ( ) M é simétrica.
h. ( ) M é idempotente.
i. ( ) Seja X uma matriz 100 times 8 com posto igual a 8 e seja I a matriz identidade 100 times 100. Então tr[I-X(X^t X)^-1 X^t]=36, em que tr denota o traço da matriz.
Passo 1
O enunciado pede para julgar como verdadeiras (V) ou falsas (F) nove afirmações sobre teoria de matrizes, envolvendo:
(a) ortogonalidade de 2times2;
(b) comutatividade de duas matrizes 3times3;
(c) determinante de soma de triangulares inferiores;
(d) verificação de solução de sistema 3times3;
(e) validade geral da Regra de Cramer;
(f) invertibilidade de bloco triangular de ordem 2n;
(g) simetria de M=I - Xl(X^T Xr)^-1X^T;
(h) idempotência de M;
(i) cálculo do traço de M quando X é 100times8 de posto 8.
(c) Se A e B são triangulares inferiores, A+B também é triangular inferior, mas det(A+B)neqprodi(aii+bii) em geral (isso só valeria se A e B comutassem e fossem simultaneamente trianguláveis). Então (c) é F.
Passo 5
(d) Substituindo
a=tfrac67475, b=-tfrac2695, c=tfrac3475
no sistema
a-3b+6c=1, 5a+2b-25c=0, -7a-4b-17c=0,
verifica-se moeda a moeda que todas as equações ficam satisfeitas (somam 1, 0 e 0, respectivamente). Logo (d) é V.
Passo 6
(e) A Regra de Cramer só resolve sistemas quadrados com matriz de coeficientes invertível. Não se aplica a qualquer sistema (ex.: sistemas singulares ou não quadrados). Logo (e) é F.
Passo 7
(f) A matriz em bloco
D=A & 0[3pt]B & C
(com A e C invertíveis e 0 nula) tem det D=det Acdotdet Cneq0,
logo D é invertível. Assim, (f) é V.]
Passo 8
(g) Definindo
M = I - Xl(X^T Xr)^-1X^T,
temos
M^T = I^T - l(X(X^T X)^-1X^Tr)^T = I - Xl(X^T Xr)^-1X^T = M,
logo M é simétrica e (g) é V.
Passo 9
(h) Seja P = X(X^T X)^-1X^T. Então P é projetor idempotente (P^2=P). Logo