(ANPEC) Classifique as afirmações abaixo em V (verdadeiro) ou F (falso):
a. ( ) Um sistema homogêneo de equações lineares sempre tem solução.
b. ( ) Para que um sistema homogêneo de equações lineares tenha infinitas soluções basta que o determinante da matriz dos coeficientes seja diferente de zero.
c. ( ) Um sistema homogêneo de m equações lineares com n incógnitas tem infinitas soluções se n>m.
d. ( ) Um sistema homogêneo de m equações lineares com n incógnitas tem infinitas soluções se m>n.
e. ( ) No sistema de equações l 3 x1-5 x2+2 x3+4 x4=0 6 x1-10 x2-4 x3-6 x4=0 é possível definir as variáveis x1 e x2 como funções das variáveis x3 e x4.

Passo 1

O enunciado pede para classificar como verdadeiro (V) ou falso (F) cinco afirmações sobre sistemas homogêneos de equações lineares com m equações e n incógnitas. Vamos usar conceitos de existência de solução trivial, determinante da matriz de coeficientes, posto da matriz e dimensão do espaço nulo (teorema do posto e nulidade).

Passo 2

Afirmação a: “Um sistema homogêneo de equações lineares sempre tem solução.”
Todo sistema homogêneo Ax=0 tem a solução trivial x=0. Logo, a afirmação é verdadeira (V).

Passo 3

Afirmação b: “Para que um sistema homogêneo de equações lineares tenha infinitas soluções basta que o determinante da matriz dos coeficientes seja diferente de zero.”
Se det(A)neq0, o sistema homogêneo tem solução única (a trivial). Portanto, não se garante infinitas soluções, e sim exclusividade. A afirmação é falsa (F).

Passo 4

Afirmação c: “Um sistema homogêneo de m equações lineares com n incógnitas tem infinitas soluções se n>m.”
Pelo teorema do posto e nulidade, rank(A)<= m, de modo que a dimensão do espaço nulo é
dimker(A)=n-rank(A)>= n-m>0
Logo há sempre infinitas soluções. A afirmação é verdadeira (V).

Passo 5

Afirmação d: “Um sistema homogêneo de m equações lineares com n incógnitas tem infinitas soluções se m>n.”
Aqui rank(A)<= n, então dimker(A)=n-rank(A)>=0. Pode ocorrer rank(A)=n, dando dimker(A)=0 e apenas a solução trivial. Não se garante infinitas soluções, portanto é falsa (F).

Passo 6

Afirmação e: No sistema
3x1-5x2+2x3+4x4=0, 6x1-10x2-4x3-6x4=0,
tentamos resolver em x1,x2 dado (x3,x4). O subdeterminante relativo a x1,x2 é
det3 & -56 & -10 =3cdot(-10)-6cdot(-5)=0,
ou seja, essas duas equações não formam sistema inversível em x1,x2 para quaisquer x3,x4. Além disso, as duas linhas não são proporcionais, gerando restrição de consistência sobre x3,x4. Logo não é possível expressar x1 e x2 livremente em função de x3 e x4. A afirmação é falsa (F).

Resposta

(a) V
(b) F
(c) V
(d) F
(e) F

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