1. Um circuito RC tem uma f.e.m de 5 volts, uma resistência de 10 ohms, uma capacitância de 10^-2 farad e, inicialmente, uma carga de 5 coulombs no capacitor. Sendo assim, responda a cada um dos itens abaixo:
    (a) apresente uma equação e o respectivo problema de valor inicial para o circuito em questão.
    (b) determine a carga no capacitor no instante t.

Passo 1

O enunciado descreve um circuito RC série com fem de 5 volts, resistência de 10, Omega, capacitância de 10^-2,F e carga inicial de 5,C no capacitor. O conteúdo é equações diferenciais lineares de 1^a ordem; vamos usar a Lei de Kirchhoff e a relação i=dQdt.

Passo 2

Pela Lei de Kirchhoff em malha:
E - R,i - QC = 0,
e como i=dQdt segue
E - RdQdt - QC = 0

Passo 3

Rearranjando em forma padrão de PVI:
dQdt + 1RC,Q = ER, Q(0)=5

Passo 4

Substituindo R=10, C=10^-2, E=5:
RC=0,1, 1RC=10, ER=0,5,
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dQdt + 10,Q = 0,5, Q(0)=5

Passo 5

Fator integrante mu(t)=e^10t. Multiplicando a ODE e integrando obtém-se
Q(t)=underbrace0,5100,05 +l(Q(0)-0,05r)e^-10t =0,05+4,95,e^-10t

Resposta

(a) Equação e PVI:
dQdt + 10,Q = 0,5, Q(0)=5
(b) Carga no instante t:
Q(t)=0,05 + 4,95,e^-10t,

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