(ANPEC) Seja A=(ai j) uma matriz real n times n. Considere o sistema A x=b abaixo e julgue as afirmativas:
c a11 x1+a12 x2+cdots+a1 n xn=b1 a21 x1+a22 x2+cdots+a2 n xn=b2 vdots an 1 x1+an 2 x2+cdots+an n xn=bn
a. ( ) Se a forma escalonada de A tem linhas nulas, então o sistema não tem solução ou possui um número infinito de soluções.
b. ( ) Se o vetor b é combinação linear das colunas de A, então o sistema admite solução.
c. ( ) Se det(A)=det(Ax 1)=ldots=det(Ax n)=0, então o sistema não tem solução.
d. ( ) Qualquer sistema de m equações lineares com n incógnitas tem infinitas soluções se n>m.
e. ( ) Se u=(u1, u2, cdots, un)^t e v=(v1, v2, cdots, vn)^t são soluções do sistema A x=b, então u+v também é solução de A x=b.

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear A x = b, em que A é uma matriz real ntimes n. Vamos usar conceitos de forma escalonada (posto), combinação linear de colunas, Regra de Cramer (determinantes) e estrutura de soluções de sistemas lineares para julgar cada afirmativa.

Passo 2

(a) Se a forma escalonada de A tem linhas nulas, então rank(A)<n. Nesse caso, ao montar o sistema ampliado [Amid b], ou ele é inconsistente (nenhuma solução) ou é consistente com rank(A)=rank([Amid b])<n, dando infinitas soluções. Portanto, a afirmativa é verdadeira.

Passo 3

(b) Dizer que b é combinação linear das colunas de A significa exatamente que existe x tal que A x=b. Logo, o sistema admite solução. A afirmativa é verdadeira.

Passo 4

(c) As matrizes Axi aparecem na Regra de Cramer: se det(A)neq0, há solução única; se det(A)=0, a condição det(Axi)neq0 indicaria inconsistência para algum i, mas se todas as det(Axi)=0, o sistema pode ser consistente com infinitas soluções ou ser inconsistente. Não dá para afirmar que não tem solução. A afirmativa é falsa.

Passo 5

(d) Em geral, um sistema com m equações e n incógnitas ( n>m) tem rank(A)<= m<n, ou seja, se for consistente terá infinitas soluções; porém pode ser inconsistente. Logo, não é verdade que qualquer sistema com n>m tenha infinitas soluções. A afirmativa é falsa.

Passo 6

(e) Sejam u e v soluções de A x=b. Então
A(u+v)=Au+Av=b+b=2bneq b
em geral, salvo o caso trivial b=0. Logo, u+v não é solução de A x=b. A afirmativa é falsa.

Resposta

(a) Verdadeira
(b) Verdadeira
(c) Falsa
(d) Falsa
(e) Falsa

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