(ANPEC) Seja
uma matriz
com entradas
. Avalie as seguintes afirmativas:
a. ( ) Existe uma matriz
de modo que
.
b. ( ) Se
, então
, em que
é a matriz identidade.
c. ( ) Se todos os elementos da diagonal principal de
são nulos, então
.
d. ( ) A matriz
, em que
é a transposta de
, é uma matriz simétrica.
e. ( ) Suponha que
quando
for par e
quando
for ímpar. Se
, então
.
a. ( ) Existe uma matriz
b. ( ) Se
c. ( ) Se todos os elementos da diagonal principal de
d. ( ) A matriz
e. ( ) Suponha que
Passo 1
O enunciado nos pede para julgar a veracidade de cinco afirmações sobre matrizes quadradas
. Vamos usar conceitos de multiplicação de matrizes, inversa de matriz, determinante, matriz transposta e propriedades de padrões de entradas para decidir se cada afirmativa é verdadeira ou falsa.
Passo 2
(a) Queremos
tal que
. Basta escolher
, onde
é a identidade
. De fato,
Logo, existe
satisfazendo a condição. A afirmativa (a) é verdadeira.
Passo 3
(b) Parte de que
. Reescrevendo,
ou seja,
é invertível e
. A afirmativa (b) é verdadeira.
Passo 4
(c) Se todos os elementos da diagonal de
são nulos, não implica determinante zero em geral. Por exemplo, para
temos
, que pode ser diferente de zero se
e
forem não nulos. Logo, a afirmativa (c) é falsa.
Passo 5
(d) Definimos
. Então
o que mostra que
é simétrica. A afirmativa (d) é verdadeira.
Passo 6
(e) A matriz
tem
se
for par e
se
for ímpar. Para
, as linhas de índice ímpar são idênticas entre si (mesmo padrão de zeros e uns), e o mesmo ocorre com as linhas de índice par. Isso gera dependência linear entre linhas e, portanto,
. A afirmativa (e) é verdadeira.
Resposta
a. Verdadeira
b. Verdadeira
c. Falsa
d. Verdadeira
e. Verdadeira
b. Verdadeira
c. Falsa
d. Verdadeira
e. Verdadeira