(ANPEC) Seja A=(ai j) uma matriz n times n com entradas ai j in R. Avalie as seguintes afirmativas:
a. ( ) Existe uma matriz B de modo que B A=2 A.
b. ( ) Se A^2+A=I, então A^-1=A+I, em que I é a matriz identidade.
c. ( ) Se todos os elementos da diagonal principal de A são nulos, então det(A)=0.
d. ( ) A matriz M=A+A^t, em que A^t é a transposta de A, é uma matriz simétrica.
e. ( ) Suponha que ai j=0 quando i+j for par e ai j=1 quando i+j for ímpar. Se n >= 3, então det(A)=0.

Passo 1

O enunciado nos pede para julgar a veracidade de cinco afirmações sobre matrizes quadradas ntimes n. Vamos usar conceitos de multiplicação de matrizes, inversa de matriz, determinante, matriz transposta e propriedades de padrões de entradas para decidir se cada afirmativa é verdadeira ou falsa.

Passo 2

(a) Queremos B tal que BA=2A. Basta escolher B=2I, onde I é a identidade ntimes n. De fato,
B A = (2I)A = 2(IA) = 2A
Logo, existe B satisfazendo a condição. A afirmativa (a) é verdadeira.

Passo 3

(b) Parte de que A^2 + A = I. Reescrevendo,
A(A + I) = A^2 + A = I,
ou seja, A é invertível e A^-1=A+I. A afirmativa (b) é verdadeira.

Passo 4

(c) Se todos os elementos da diagonal de A são nulos, não implica determinante zero em geral. Por exemplo, para
A=0 & a b & 0,
temos det(A)=-ab, que pode ser diferente de zero se a e b forem não nulos. Logo, a afirmativa (c) é falsa.

Passo 5

(d) Definimos M=A+A^t. Então
M^t = (A + A^t)^t = A^t + (A^t)^t = A^t + A = M,
o que mostra que M é simétrica. A afirmativa (d) é verdadeira.

Passo 6

(e) A matriz A tem aij=0 se i+j for par e aij=1 se i+j for ímpar. Para n>=3, as linhas de índice ímpar são idênticas entre si (mesmo padrão de zeros e uns), e o mesmo ocorre com as linhas de índice par. Isso gera dependência linear entre linhas e, portanto, det(A)=0. A afirmativa (e) é verdadeira.

Resposta

a. Verdadeira
b. Verdadeira
c. Falsa
d. Verdadeira
e. Verdadeira

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