(ANPEC) Seja H uma matriz 4 times 4 idempotente, simétrica e não singular (isto é, inversível). Seja O4 times 5 a matriz nula de ordem 4 times 5 e O5 times 4=O4 times 5^t sua transposta. Seja ainda L uma matriz 5 times 5 ortogonal. Considere a matriz 9 times 9 dada por A=[ccH & O4 times 5 O5 times 4 & L]. Calcule D=det(A^t A).

Passo 1

O enunciado nos dá uma matriz AinR^9times9 em blocos de tamanho 4times4 e 5times5:
A = H & O4times5[6pt] O5times4 & L ,
once
1. H é 4times4, idempotente ( H^2=H), simétrica ( H^t=H) e invertível;
2. L é 5times5 ortogonal ( L^tL=I5).
Queremos calcular
D = detl(A^tAr)
]

Passo 2

Usando a multiplicação de matrizes em bloco, temos
A^tA = H^t & O[2pt] O & L^t H & O[2pt] O & L = H^tH & O[2pt] O & L^tL
Como esse resultado é bloco-diagonal,
detl(A^tAr) =detl(H^tHr),detl(L^tLr)
]

Passo 3

Para det(H^tH): como H é simétrica, H^t=H, logo
det(H^tH) =det(H,H) =det(H)^2
Além disso, H é idempotente e invertível. Da igualdade H^2=H, multiplicando à esquerda por H^-1, segue H=I4. Então
det(H)=det(I4)=1 Longrightarrow det(H^tH)=1^2=1

Passo 4

Para det(L^tL): pela ortogonalidade de L,
L^tL=I5 Longrightarrow det(L^tL)=det(I5)=1

Passo 5

Substituindo em det(A^tA)=det(H^tH),det(L^tL), obtemos
D = 1 times 1 = 1

Resposta

D = 1

Exercícios relacionados