(ANPEC) Seja
uma matriz
idempotente, simétrica e não singular (isto é, inversível). Seja
a matriz nula de ordem
e
sua transposta. Seja ainda L uma matriz
ortogonal. Considere a matriz
dada por
. Calcule
.
Passo 1
O enunciado nos dá uma matriz
em blocos de tamanho
e
:
once
.
é
, idempotente (
), simétrica (
) e invertível;
.
é
ortogonal (
).
Queremos calcular
Queremos calcular
]
Passo 2
Usando a multiplicação de matrizes em bloco, temos
Como esse resultado é bloco-diagonal,
]
Passo 3
Para
: como
é simétrica,
, logo
Além disso,
é idempotente e invertível. Da igualdade
, multiplicando à esquerda por
, segue
. Então
Passo 4
Para
: pela ortogonalidade de
,
Passo 5
Substituindo em
, obtemos