Calcule os limites:
lim x 2^+ -2 x(2-x)^3

Passo 1

O enunciado pede para calcular a forma do limite
limxto2^+-2x(2-x)^3
Estamos diante de um limite que tende a infinito por causa do denominador que se anula em x=2. Vamos estudar o sinal e o módulo da fração ao nos aproximarmos de 2 pela direita.

Passo 2

Para xto2^+ temos x>2. Então
(2-x)<0,
pois a diferença entre um número ligeiramente maior que 2 e 2 é negativa.

Passo 3

Como queremos o cubo de (2-x), note que
(2-x)^3<0,
já que o cubo de um número negativo continua negativo.

Passo 4

O numerador -2x, quando xto2^+, tende a -4, ou seja, é um valor negativo fixo próximo de -4. Portanto, perto de x=2^+:
  • numerador to -4 (negativo)
  • denominador to 0^- (pequeno e negativo)
Dividir um valor negativo por um valor negativo muito pequeno dá um resultado positivo de módulo muito grande, ou seja, tende a +infty.

Passo 5

Como a fração se torna positiva e cresce sem limite, concluímos que
limxto2^+-2x(2-x)^3=+infty

Resposta

+infty

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