Questão 13. Determine partial zpartial x se x^3+y^3+z^3+6 x y z=1.

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
x^3+y^3+z^3+6xyz=1
e pede a derivada parcial partial zpartial x. O conteúdo é diferenciação implícita em funções de duas variáveis, usando regra do produto e regra da cadeia, tratando y como constante.

Passo 2

Aplicamos partialpartial x em ambos os lados de
x^3+y^3+z^3+6xyz=1,
considerando y constante e z=z(x,y).

Passo 3

Calculamos cada derivada:
partialpartial x(x^3)=3x^2,
partialpartial x(y^3)=0,
partialpartial x(z^3)=3z^2partial zpartial x,
e pela regra do produto
partialpartial x(6xyz) =6l(partialpartial x(x),y,z + x,partialpartial x(y),z + x,y,partial zpartial xr) =6l(yz + xypartial zpartial xr)

Passo 4

Somando tudo e igualando a zero, obtemos
3x^2 +3z^2partial zpartial x +6yz +6xypartial zpartial x =0

Passo 5

Agrupando os termos com partial zpartial x e isolando, vem
(3z^2+6xy)partial zpartial x =-3x^2-6yz,
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partial zpartial x =-3x^2+6yz3z^2+6xy

Resposta

partial zpartial x =-x^2+2yzz^2+2xy

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