(ANPEC) Sejam A=[ccck & 0 & 0 0 & -1 & 1 1 & 1 & k] e B=[ccck & 2 & 1 0 & -1 & 1 0 & 0 & k]. Julgue as afirmativas abaixo em V (verdadeiro) ou F (falso) e justifique sua resposta:
a. ( ) Se tr(A)=-det(B) então k=1;
b. ( ) Se k neq 0 e k neq 1, então o sistema A x=b tem solução única, em que x=(x1, x2, x3)^t e b=(b1, b2, b3)^t.
c. ( ) Se k=0, então o sistema B x=O, em que O é o vetor nulo, só admite a solução trivial, isto é, x=O.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes
A=k & 0 & 0 [6pt] 0 & -1 & 1 [6pt] 1 & 1 & k, B=k & 2 & 1 [4pt] 0 & -1 & 1 [4pt] 0 & 0 & k,
e pede para julgar as afirmativas sobre traço, determinante e existência de solução de sistemas lineares. Vamos usar: definição de traço, determinante (matriz triangular e teorema de Laplace) e critério de invertibilidade (determinante não nulo).]

Passo 2

Para (a), calculamos
o traço de A:
tr(A)=k+(-1)+k=2k-1,
e o determinante de B, que é triangular superior, vale
det(B)=kcdot(-1)cdot k=-k^2
Logo
-det(B)=k^2
A condição tr(A)=-det(B) vira
2k-1 = k^2 Longrightarrow k^2 - 2k +1=0 Longrightarrow (k-1)^2=0 Longrightarrow k=1
Portanto, a afirmativa (a) é verdadeira.

Passo 3

Para (b), o sistema A x=b tem solução única se e somente se det(A)neq0. Calculando por cofactor na primeira linha,
det(A) = kcdotdet-1 & 1[3pt]1 & k = kl((-1)cdot k -1cdot1r) = -k(k+1)
Logo det(A)=0 quando k=0 ou k=-1, e det(A)neq0 para todo kneq0,-1. Mas a afirmativa (b) exige kneq0,1; isso exclui k=1 sem necessidade, pois em k=1 temos det(A)=-1neq0. Logo (b) é falsa.]

Passo 4

Para (c), o sistema homogêneo B x=O só tem solução trivial se det(B)neq0. Mas já vimos que
det(B)=-k^2,
então em k=0 vale det(B)=0. Assim B é singular e admite infinitas soluções em vez da única trivial. Logo (c) é falsa.

Resposta

(a) V
(b) F
(c) F

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