Uma antena dipolar operando em 500 MHz , de comprimento L gg lambda, emite uma potência por unidade de comprimento de P0=1417 W / m. (a) Mostre que o vetor de Poynting nas proximidades da antena é dado por S(rho)=phi02 pi rho rho ? (b) Escreva os campos (E,B) em função da distância r do fio?

Passo 1

Então, o enunciado diz assim: a gente tem uma antena dipolar operando a 500 MHz, comprida (ou seja, Lgglambda), que está “jogando” potência por unidade de comprimento P0=1417,W/m.
(a) A gente tem que mostrar que, bem perto do fio, o vetor de Poynting (o fluxo de energia eletromagnética) é
vec S(rho);=;P02pi,rho,hatrho,
(b) Depois, escrever os campos vec E e vec B em função da distância rho (no caso de uma onda cilíndrica TEM saindo do fio).
Conteúdo da matéria: Poynting, fluxo de energia, relação entre vec E, vec B e o fluxo em ondas EM no vácuo. A gente vai usar:
  1. definição de fluxo de potência numa superfície cilíndrica;
  2. vec S=1mu0,vec Etimesvec B e as relações de onda no vácuo ( E=cB, ou equivalente em impedância Z0).

Passo 2

Primeiro vamos derivar o vec S. Imagina um cilindro de raio rho e comprimento dz em volta do fio. A potência que sai desse pedaço de fio de comprimento dz é
dP ;=;P0,dz,
Por outro lado, o fluxo de potência através da superfície lateral do cilindro vale
integral duplalateral vec Scdot dvec A ;=;Srho(rho),l(2pirho,dzr),,
porque dA= rho,dphi,dz e integral em phi de 0 a 2pi 2pirho,dz. Como toda a potência que sai do fio deve atravessar essa lateral, a gente impõe
Srho(rho),2pirho,dz ;=;P0,dz Longrightarrow Srho(rho)=P02pi,rho,
E, como a direção de emissão é radial,
boxedvec S(rho)=P02pi,rho,hatrho,

Passo 3

Agora parte (b): vamos achar vec E e vec B. Lembra que, no vácuo, para uma onda TEM (transversal eletromagnética), vale
  1. vec S=dfrac1mu0,vec Etimesvec B,
  2. E=c,B, ou equivalente em impedância característica Z0=raizmu0/varepsilon0 temos
E = Z0,H,, B=mu0,H Longrightarrow E = c,B,,
e também
S = |vec S| = E,Bmu0,
Como E=cB, a gente pode escrever
S = E,(E/c)mu0 = E^2mu0,c ;=;E^2Z0,,
porque Z0=mu0,c. Logo
E(rho) ;=;raiz,Z0,S(rho), ;=;raiz;Z0,P02pi,rho;,, B(rho) ;=;E(rho)c ;=;raiz;1Z0,P02pi,rho;,

Passo 4

Só falta escolher as direções certas. A onda sai radialmente, hatrho, então vec E e vec B têm de ser ortogonais a hatrho e entre si. Num dipolo alinhado ao eixo z a gente convenciona:
  • vec E no sentido do dipolo, ou seja hat z,
  • vec B fica na componente azimutal hatphi,
    de modo que hat ztimeshatphi=hatrho. Assim
boxed vec E(rho)&=raizZ0,P02pi,rho;hat z, vec B(rho)&=raizP02pi,rho,Z0;hatphi

Resposta

(a) vec S(rho)=dfracP02pi,rho,hatrho.
(b)
vec E(rho)=raizdfracZ0,P02pi,rho;hat z, vec B(rho)=raizdfracP02pi,rho,Z0;hatphi,,
com Z0=raizmu0/varepsilon0approx 377;Omega.

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