Uma antena dipolo no espaço livre tem uma distribuição linear de corrente com corrente nula em cada extremidade e com pico de corrente Io no centro. Se o comprimento d vale
, qual valor de Io é necessário para:
(a) fornecer uma amplitude de campo radiado de
a uma distância de
;
(b) radiar uma potência total de 1 W?
(a) fornecer uma amplitude de campo radiado de
(b) radiar uma potência total de 1 W?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para uma antena dipolo de comprimento
, com distribuição de corrente que é nula nas extremidades e tem pico
, no centro (ou seja, corrente senoidal ao longo do dipolo, máxima no centro):
- (a) Calcular
, necessário para fornecer uma amplitude de campo radiado de a uma distância de na direção . - (b) Calcular
, necessário para que a antena radie uma potência total de .
Informações e condições dadas (explicitadas):
A distribuição de corrente é a senoidal típica de dipolo centrado (zero nas pontas, pico no centro). Vamos usar as expressões de campo e potência do dipolo com essa distribuição (condição de campo distante válida:
).
Passo 2
Fórmula do campo no plano elétrico (
polar) para um dipolo com corrente senoidal máxima
, (centro alimentado) — explicando cada termo:
A expressão canônica do componente transversal do campo elétrico em zona distante é
Onde:
-
é a impedância do meio (para espaço livre ); -
é o número de onda: ; -
é a distância ao ponto de observação; -
é o ângulo polar (com sendo perpendicular ao eixo do dipolo); -
é a amplitude (pico) da corrente no centro; - o fator
é a função de elemento (padrão de radiação) para corrente senoidal.
Observações didáticas rápidas: a fórmula vem da integração da contribuição de cada elemento de corrente ao potencial vetorial e então convertida para campo elétrico na região de Fraunhofer (zona distante). O fator
dá a dependência em distância e a fase; para amplitude tomamos o módulo, desprezando o fator imaginário
e a fase
.
Passo 3
Aplicando
(ou seja
e
) a expressão do passo anterior, simplifica-se muito:
logo o módulo do campo é
Dessa equação podemos isolar
quando
e
são conhecidos:
Passo 4
Agora calculamos numericamente (parte a).
Primeiro calcule
:
Calcule
:
portanto
Agora substituímos em
Use
,
,
. Note que
. Assim:
Comentário interpretativo: o valor é grande porque o dipolo é muito curto (
) e, portanto, irradia muito pouco para uma dada corrente; obter
a
exige corrente de ordem de kA.
Passo 5
Agora parte (b): relação entre potência radiada e corrente.
A potência média total radiada por um dipolo é relacionada à corrente máxima
, e à resistência de radiação
pela fórmula (para corrente senoidal de amplitude
):
Explicação: para corrente senoidal
, a corrente eficaz (RMS) é
. A potência média dissipada numa resistência
é
.
Precisamos de uma expressão para
. Para dipolos muito curtos (
) a resistência de radiação aproximada vale
Justificativa curta: essa é a expressão padrão para o caso de um dipolo elétrico muito pequeno (Hertziano) — quando a distribuição senoidal e a distribuição uniforme são praticamente equivalentes para
tão pequeno — e é amplamente usada para estimativas. (Se
fosse maior, usaríamos a expressão exata obtida integrando o padrão de radiação.)
Passo 6
Calcule numericamente
com
:
Numérico:
Passo 7
Resolver para
exigido para
:
Substituindo
e
:
Interpretação curta: para radiar 1 W total com um dipolo tão curto, a corrente de pico necessária é de ordem apenas de alguns ampères, porque mesmo que a resistência de radiação seja pequena (
), a potência total é pouco.
Resposta
(a)
(b)
(b)