Uma antena dipolo no espaço livre tem uma distribuição linear de corrente com corrente nula em cada extremidade e com pico de corrente Io no centro. Se o comprimento d vale 0,02 \lambda, qual valor de Io é necessário para:
(a) fornecer uma amplitude de campo radiado de 100 \mathrm{mV} / \mathrm{m} a uma distância de 1,6 \mathrm{~km} \mathrm{em} \theta=90^{\circ};
(b) radiar uma potência total de 1 W?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para uma antena dipolo de comprimento \,d=0,02\lambda, com distribuição de corrente que é nula nas extremidades e tem pico \,I_0, no centro (ou seja, corrente senoidal ao longo do dipolo, máxima no centro):
  • (a) Calcular \,I_0, necessário para fornecer uma amplitude de campo radiado de \,100\\ \mathrm{mV/m} a uma distância de \,1{,}6\\ \mathrm{km} na direção \theta=90^\circ.
  • (b) Calcular \,I_0, necessário para que a antena radie uma potência total de \,1\\ \mathrm{W}.
Informações e condições dadas (explicitadas):
d = 0,02\lambda,\qquad r = 1{,}6\\ \mathrm{km} = 1600\\ \mathrm{m},\qquad |E|_{\text{(a)}} = 100\\ \mathrm{mV/m}=0{,}1\\ \mathrm{V/m},\qquad \theta=90^\circ.
A distribuição de corrente é a senoidal típica de dipolo centrado (zero nas pontas, pico no centro). Vamos usar as expressões de campo e potência do dipolo com essa distribuição (condição de campo distante válida: r\gg\lambda).

Passo 2

Fórmula do campo no plano elétrico ( \theta polar) para um dipolo com corrente senoidal máxima \,I_0, (centro alimentado) — explicando cada termo:
A expressão canônica do componente transversal do campo elétrico em zona distante é
E_\theta = j\,\frac{\eta}{2\pi}\,\frac{e^{-jkr}}{r}\; I_0\; \frac{\cos\!\big(\tfrac{k d}{2}\cos\theta\big)-\cos\!\big(\tfrac{k d}{2}\big)}{\sin\theta}.
Onde:
  • \eta é a impedância do meio (para espaço livre \eta = 120\pi\\ \Omega);
  • k é o número de onda: k=\dfrac{2\pi}{\lambda};
  • r é a distância ao ponto de observação;
  • \theta é o ângulo polar (com \theta=90^\circ sendo perpendicular ao eixo do dipolo);
  • I_0 é a amplitude (pico) da corrente no centro;
  • o fator \dfrac{\cos(\frac{k d}{2}\cos\theta)-\cos(\frac{k d}{2})}{\sin\theta} é a função de elemento (padrão de radiação) para corrente senoidal.
Observações didáticas rápidas: a fórmula vem da integração da contribuição de cada elemento de corrente ao potencial vetorial e então convertida para campo elétrico na região de Fraunhofer (zona distante). O fator e^{-jkr}/r dá a dependência em distância e a fase; para amplitude tomamos o módulo, desprezando o fator imaginário j e a fase e^{-jkr}.

Passo 3

Aplicando \theta=90^\circ (ou seja \cos\theta=0 e \sin\theta=1) a expressão do passo anterior, simplifica-se muito:
\cos\!\big(\tfrac{k d}{2}\cos\theta\big)=\cos(0)=1,
logo o módulo do campo é
|E_\theta| = \frac{\eta}{2\pi}\,\frac{I_0}{r}\,\Big(1-\cos\!\big(\tfrac{k d}{2}\big)\Big).
Dessa equação podemos isolar I_0 quando |E_\theta|,\\ r,\\ d e \lambda são conhecidos:
I_0 = \frac{|E_\theta|\,2\pi r}{\eta\big(1-\cos(\tfrac{k d}{2})\big)}.

Passo 4

Agora calculamos numericamente (parte a).
Primeiro calcule \tfrac{k d}{2}:
\tfrac{k d}{2} = \tfrac{2\pi}{\lambda}\cdot\frac{d}{2} = \pi\frac{d}{\lambda} = \pi\cdot 0{,}02 = 0{,}02\pi \approx 0{,}0628319\\ \text{rad}.
Calcule \cos(\tfrac{k d}{2}):
\cos\!\big(0{,}0628319\big)\approx 0{,}9980267,
portanto
1-\cos\!\big(\tfrac{k d}{2}\big)\approx 0{,}00197327.
Agora substituímos em
I_0 = \frac{|E_\theta|\,2\pi r}{\eta\big(1-\cos(\tfrac{k d}{2})\big)}.
Use |E_\theta|=0{,}1\\ \mathrm{V/m}, r=1600\\ \mathrm{m}, \eta=120\pi\\ \Omega. Note que \dfrac{2\pi}{120\pi}=\dfrac{1}{60}. Assim:
I_0 = \frac{0{,}1\cdot 1600}{60\cdot 0{,}00197327} = \frac{160}{60\cdot 0{,}00197327} = \frac{2{,}6666667}{0{,}00197327} \approx 1352{,}0\\ \mathrm{A}.
Comentário interpretativo: o valor é grande porque o dipolo é muito curto ( d=0{,}02\lambda) e, portanto, irradia muito pouco para uma dada corrente; obter 0{,}1\\ \mathrm{V/m} a 1{,}6\\ \mathrm{km} exige corrente de ordem de kA.

Passo 5

Agora parte (b): relação entre potência radiada e corrente.
A potência média total radiada por um dipolo é relacionada à corrente máxima \,I_0, e à resistência de radiação R_{\text{rad}} pela fórmula (para corrente senoidal de amplitude I_0):
P_{\text{rad}} = \frac{1}{2}\,I_0^2\,R_{\text{rad}}.
Explicação: para corrente senoidal i(t)=I_0\cos(\omega t), a corrente eficaz (RMS) é I_{\text{rms}}=I_0/\sqrt{2}. A potência média dissipada numa resistência R é I_{\text{rms}}^2 R = (I_0^2/2)R.
Precisamos de uma expressão para R_{\text{rad}}. Para dipolos muito curtos ( d\ll\lambda) a resistência de radiação aproximada vale
R_{\text{rad}}\approx 80\pi^2\left(\frac{d}{\lambda}\right)^2.
Justificativa curta: essa é a expressão padrão para o caso de um dipolo elétrico muito pequeno (Hertziano) — quando a distribuição senoidal e a distribuição uniforme são praticamente equivalentes para d tão pequeno — e é amplamente usada para estimativas. (Se d fosse maior, usaríamos a expressão exata obtida integrando o padrão de radiação.)

Passo 6

Calcule numericamente R_{\text{rad}} com d/\lambda=0{,}02:
R_{\text{rad}}\approx 80\pi^2(0{,}02)^2 = 80\pi^2\cdot 0{,}0004 = 0{,}032\pi^2.
Numérico:
R_{\text{rad}}\approx 0{,}3158\\ \Omega.

Passo 7

Resolver para I_0 exigido para P_{\text{rad}}=1\\ \mathrm{W}:
1 = \frac{1}{2}\,I_0^2\,R_{\text{rad}} \quad\Rightarrow\quad I_0 = \sqrt{\frac{2P_{\text{rad}}}{R_{\text{rad}}}}.
Substituindo P_{\text{rad}}=1\\ \mathrm{W} e R_{\text{rad}}=0{,}3158\\ \Omega:
I_0 = \sqrt{\frac{2\cdot 1}{0{,}3158}} \approx \sqrt{6{,}333} \approx 2{,}52\\ \mathrm{A}.
Interpretação curta: para radiar 1 W total com um dipolo tão curto, a corrente de pico necessária é de ordem apenas de alguns ampères, porque mesmo que a resistência de radiação seja pequena ( \sim 0{,}32\\ \Omega), a potência total é pouco.

Resposta

(a) I_0 \approx 1,35\times 10^{3}\\ \mathrm{A}
(b) I_0 \approx 2,52\\ \mathrm{A}

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