Uma partícula que se desloca ao longo de um trilho está sob efeito de uma força restauradora do tipo
em que
designa a posição a partir de uma dada origem sobre este trilho. 1-Escreva a equação de movimento da partícula. 2-Qual o período de oscilação? 3-Escreva a soluçāo GERAL para
. Como a solução geral se particulariza para o caso em que: para
a partícula se encontra na origem e para
s sua velocidade vale
?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
- Informação: existe uma força restauradora sobre a partícula dada por
, onde é a posição medida a partir de uma origem no trilho e é uma constante. - Pergunta 1: Escrever a equação de movimento da partícula.
- Pergunta 2: Determinar o período de oscilação.
- Pergunta 3: Escrever a solução GERAL para
e particularizar essa solução para o caso em que, para a partícula está na origem e para sua velocidade vale .
Dados relevantes extraídos do enunciado:
, constantes
e
(massa da partícula, que aparece implicitamente pela segunda lei de Newton), e condições particulares
e
.
Passo 2
Escrever a equação de movimento usando a Segunda Lei de Newton:
- A Segunda Lei diz que a força resultante é igual à massa vezes a aceleração. Em notação:
. - Aqui
(a segunda derivada da posição em relação ao tempo). Substituindo obtemos em forma diferencial:
- Reescrevendo em forma padrão (colocando tudo no lado esquerdo):
Explicação das notações:
é a massa (constante),
é a constante elástica,
é a posição no tempo,
é a aceleração.
Passo 3
Resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem:
- A equação é
- Dividindo por
(assumindo ):
- Esta é uma equação do tipo
se definirmos
- Método de solução: procuramos soluções da forma
. Substituindo obtém-se a equação característica
cujas raízes são
- Para raízes puramente imaginárias, a solução geral real da equação é combinação de cosseno e seno:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais. Aqui
tem unidade de rad/s e determina a frequência angular das oscilações.
Passo 4
Encontrar o período de oscilação:
- A frequência angular
relaciona-se com o período por
- Isolando
:
- Substituindo
obtemos o período em função de e :
Breve interpretação física: quanto maior a massa
, mais lento é o movimento (maior
); quanto maior a constante elástica
, mais rápido é o movimento (menor
).
Passo 5
Relacionar as constantes
e
com condições iniciais gerais:
- Defina a velocidade como a derivada:
. Diferenciando a solução geral:
- Em particular, as condições em
fornecem:
- Se chamarmos
e , então as constantes são
Isso é prático na prova: plugue
e
e já tem a solução.
Passo 6
Aplicar as condições específicas do problema (
e
):
- Da condição
temos . Portanto a solução reduz-se a
- A velocidade correspondente é
- Impondo
, obtemos a equação para :
- Isolando
(assumindo ):
- Substituindo de volta, a solução particular fica
onde
.
- Observação importante sobre existência: se
então para qualquer , ou seja, não é possível obter . Portanto é necessário que
ou seja,
para qualquer inteiro
.
Passo 7
Escrever explicitamente a solução particular em termos de
e
(opcional, mas útil):
- Como
, podemos escrever
- Relembre: isto vale somente se
.
Resposta
-
\n -
\n - Solução geral:
com . Particularizando para e :
onde e é necessário que (caso contrário não existe solução com ).