Uma partícula que se desloca ao longo de um trilho está sob efeito de uma força restauradora do tipo F=-k x em que x designa a posição a partir de uma dada origem sobre este trilho. 1-Escreva a equação de movimento da partícula. 2-Qual o período de oscilação? 3-Escreva a soluçāo GERAL para x(t). Como a solução geral se particulariza para o caso em que: para t=0 a partícula se encontra na origem e para t=20 s sua velocidade vale 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
  • Informação: existe uma força restauradora sobre a partícula dada por \;F=-k x\;, onde \;x\; é a posição medida a partir de uma origem no trilho e \;k>0\; é uma constante.
  • Pergunta 1: Escrever a equação de movimento da partícula.
  • Pergunta 2: Determinar o período de oscilação.
  • Pergunta 3: Escrever a solução GERAL para \;x(t)\; e particularizar essa solução para o caso em que, para \;t=0\; a partícula está na origem e para \;t=20\\ \mathrm{s}\; sua velocidade vale \;10\\ \mathrm{m/s}.
Dados relevantes extraídos do enunciado: \;F=-k x\;, constantes \;k\; e \;m\; (massa da partícula, que aparece implicitamente pela segunda lei de Newton), e condições particulares \;x(0)=0\; e \;v(20)=10\\ \mathrm{m/s}.

Passo 2

Escrever a equação de movimento usando a Segunda Lei de Newton:
  • A Segunda Lei diz que a força resultante é igual à massa vezes a aceleração. Em notação: \;F = m a\;.
  • Aqui \;a=\ddot{x}(t)\; (a segunda derivada da posição em relação ao tempo). Substituindo \;F=-k x\; obtemos em forma diferencial:
m\ddot{x}(t) = -k x(t).
  • Reescrevendo em forma padrão (colocando tudo no lado esquerdo):
m\ddot{x}(t) + k x(t) = 0.
Explicação das notações: \;m\; é a massa (constante), \;k\; é a constante elástica, \;x(t)\; é a posição no tempo, \;\ddot{x}(t)\; é a aceleração.

Passo 3

Resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem:
  • A equação é
m\ddot{x} + k x = 0.
  • Dividindo por \;m\; (assumindo \;m\neq0):
\ddot{x} + \frac{k}{m} x = 0.
  • Esta é uma equação do tipo \;\ddot{x} + \omega^2 x = 0\; se definirmos
\omega \equiv \sqrt{\frac{k}{m}}.
  • Método de solução: procuramos soluções da forma \;x(t)=e^{rt}\;. Substituindo obtém-se a equação característica
r^2 + \omega^2 = 0
cujas raízes são
r = \pm i \omega.
  • Para raízes puramente imaginárias, a solução geral real da equação é combinação de cosseno e seno:
x(t) = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t),
onde \;A\; e \;B\; são constantes determinadas pelas condições iniciais. Aqui \;\omega=\sqrt{k/m}\; tem unidade de rad/s e determina a frequência angular das oscilações.

Passo 4

Encontrar o período de oscilação:
  • A frequência angular \;\omega\; relaciona-se com o período \;T\; por
\omega = \frac{2\pi}{T}.
  • Isolando \;T\;:
T = \frac{2\pi}{\omega}.
  • Substituindo \;\omega=\sqrt{k/m}\; obtemos o período em função de \;m\; e \;k\;:
T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}.
Breve interpretação física: quanto maior a massa \;m\;, mais lento é o movimento (maior \;T\;); quanto maior a constante elástica \;k\;, mais rápido é o movimento (menor \;T\;).

Passo 5

Relacionar as constantes A e B com condições iniciais gerais:
  • Defina a velocidade como a derivada: \;v(t)=\dot{x}(t)\;. Diferenciando a solução geral:
\dot{x}(t) = -A\omega\sin(\omega t) + B\omega\cos(\omega t).
  • Em particular, as condições em \;t=0\; fornecem:
x(0) = A,\qquad \dot{x}(0)=B\omega.
  • Se chamarmos \;x(0)=x_0\; e \;v(0)=v_0\;, então as constantes são
A = x_0,\qquad B = \frac{v_0}{\omega}.
Isso é prático na prova: plugue \;x_0\; e \;v_0\; e já tem a solução.

Passo 6

Aplicar as condições específicas do problema ( \;x(0)=0\; e \;v(20)=10\\ \mathrm{m/s}\;):
  • Da condição \;x(0)=0\; temos A=0. Portanto a solução reduz-se a
x(t) = B\sin(\omega t).
  • A velocidade correspondente é
\dot{x}(t) = \omega B \cos(\omega t).
  • Impondo \;\dot{x}(20)=10\;, obtemos a equação para B:
\omega B \cos(20\omega) = 10.
  • Isolando B (assumindo \;\cos(20\omega)\neq 0\;):
B = \frac{10}{\omega \cos(20\omega)}.
  • Substituindo de volta, a solução particular fica
x(t) = \frac{10}{\omega \cos(20\omega)}\sin(\omega t),
onde \;\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}\;.
  • Observação importante sobre existência: se \;\cos(20\omega)=0\; então \;\dot{x}(20)=\omega B\cos(20\omega)=0 para qualquer B, ou seja, não é possível obter \;\dot{x}(20)=10\;. Portanto é necessário que
\cos(20\omega)\neq 0,
ou seja, \;\omega\neq \dfrac{(2n+1)\pi}{40}\; para qualquer inteiro n.

Passo 7

Escrever explicitamente a solução particular em termos de k e m (opcional, mas útil):
  • Como \;\omega=\sqrt{k/m}\;, podemos escrever
x(t) = \frac{10}{\sqrt{\dfrac{k}{m}}\;\cos\!\big(20\sqrt{\dfrac{k}{m}}\big)}\;\sin\!\bigg(t\sqrt{\dfrac{k}{m}}\bigg).
  • Relembre: isto vale somente se \;\cos\!\big(20\sqrt{k/m}\big)\neq 0\;.

Resposta

  1. \;m\ddot{x} + k x = 0.\n
  2. \;T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}.\n
  3. Solução geral: \;x(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)\; com \;\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}\;. Particularizando para \;x(0)=0\; e \;\dot{x}(20)=10\\ \mathrm{m/s}\;:
    \;x(t)=\dfrac{10}{\omega\cos(20\omega)}\sin(\omega t)\; onde \;\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}\; e é necessário que \;\cos(20\omega)\neq 0 (caso contrário não existe solução com \dot{x}(20)=10).

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