Um cano cuja espessura diminui progressivamente e sob o qual escoa água possui as seguintes características: A região de maior calibre possui diâmetro
. A região de menor largura, já na fronteira onde o cano termina, possui diâmetro
. A velocidade na regiāo 1 vale
(aberta, onde a água jorra para fora do cano com tal velocidade.). Calcule a vazāo do cano e a velocidade na região 2 e em termos da velocidade em 1 e das variáveis
e
. Considerando que a diferença de altura entre os dois pontos é mula, obtenha a pressão no interior do cano em termos de varáveis que desigıram a aceleração da gravidade (g), deusidade da água
, pressão atmosférica
e as velocidades em 1 e 2 .
Passo 1
O enunciado dá um cano que afunila, com duas regiões numeradas: a região 1 é a extremidade aberta (onde a água jorra para fora) e a região 2 é a parte de maior calibre (mais larga) no interior do cano. As informações e pedidos são:
- Dados fornecidos:
- diâmetro da região 1:
; - diâmetro da região 2:
; - velocidade na região 1:
(e queremos também fórmulas em termos de ); - diferença de altura entre os pontos é nula (mesmo nível).
- diâmetro da região 1:
- O que o enunciado pede:
- Calcular a vazão do cano (fluxo volumétrico) — expressa em termos de
e de (é pedido também considerar o dado numérico ). - Calcular a velocidade na região 2, expressa em termos de
. - Considerando a diferença de altura nula, obter a pressão no interior do cano (na região 2) em termos de
, da densidade da água , da pressão atmosférica e das velocidades em 1 e 2. Também vou dar a forma substituindo a expressão de em função de .
- Calcular a vazão do cano (fluxo volumétrico) — expressa em termos de
Passo 2
Vamos calcular a vazão usando a equação de continuidade — explico calma e passo a passo.
- Conceito: vazão (fluxo volumétrico) é o volume de fluido que passa por uma secção por unidade de tempo. Denotamos por
. - Fórmula básica da continuidade para um fluido incompressível e escoamento estacionário:
onde é a área da seção transversal (m²) e é a velocidade média do fluido nessa seção (m/s). - Área de uma seção circular dada por diâmetro: se o diâmetro é
, Aqui cada variável significa: -
: diâmetro da seção (m); -
: área da seção (m²); -
: constante .
-
Aplicando isso à região 1 (onde temos
e
):
Unidades:
, que é correto para vazão.
Agora usando o valor numérico
(se quiser a forma numérica em função de
):
Passo 3
Agora obtemos a velocidade na região 2 a partir da conservação de massa (continuidade). Explico passo a passo:
- A vazão é a mesma em qualquer seção do mesmo escoamento incompressível e estacionário. Logo:
- Isolando
: - Substituindo as áreas em termos dos diâmetros (
), o fator cancela: - Se substituirmos o valor numérico
, obtemos:
Interpretação física curta: se a seção aumenta (
), a velocidade
diminui proporcionalmente ao quadrado dos diâmetros.
Passo 4
Agora vamos achar a pressão no interior do cano (região 2) usando o teorema de Bernoulli — explico o princípio e as hipóteses:
- Princípio: para um escoamento ideal (incompressível, sem atrito significativo, e em regime estacionário), ao longo de uma linha de corrente a soma da pressão estática, da pressão dinâmica (energia cinética por volume) e da pressão potencial (energia potencial por volume) é constante.
- Equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 2:
onde: -
é a pressão estática (Pa), -
é a densidade do fluido (kg/m³) — o enunciado chamou de “deusidade” , -
é a aceleração da gravidade (m/s²), -
é a cota vertical (m).
-
- Hipóteses aplicadas ao nosso caso: nos foi dito que a diferença de altura é nula, então
e os termos cancelam. Além disso, a região 1 é a extremidade aberta (o jato), logo a pressão na superfície do jato é a pressão atmosférica: . - Simplificando Bernoulli com essas hipóteses:
- Isolando
:
Interpretação física: se
(seção maior no interior), então
— a pressão no interior é maior que a atmosférica porque parte da energia cinética do jato foi convertida em pressão.
Passo 5
Expressão final da pressão substituindo
em função de
:
- Como vimos,
então - Substituindo em
obtemos:
Essa é a expressão da pressão na região mais larga (interior do cano) em termos de
.