Um cano cuja espessura diminui progressivamente e sob o qual escoa água possui as seguintes características: A região de maior calibre possui diâmetro d_{2}. A região de menor largura, já na fronteira onde o cano termina, possui diâmetro d_{1}. A velocidade na regiāo 1 vale 15 \mathrm{~m} / \mathrm{s} (aberta, onde a água jorra para fora do cano com tal velocidade.). Calcule a vazāo do cano e a velocidade na região 2 e em termos da velocidade em 1 e das variáveis d_{1} e d_{2}. Considerando que a diferença de altura entre os dois pontos é mula, obtenha a pressão no interior do cano em termos de varáveis que desigıram a aceleração da gravidade (g), deusidade da água p, pressão atmosférica P_{a t m} e as velocidades em 1 e 2 .

Passo 1

O enunciado dá um cano que afunila, com duas regiões numeradas: a região 1 é a extremidade aberta (onde a água jorra para fora) e a região 2 é a parte de maior calibre (mais larga) no interior do cano. As informações e pedidos são:
  • Dados fornecidos:
    • diâmetro da região 1: d_{1};
    • diâmetro da região 2: d_{2};
    • velocidade na região 1: v_{1}=15\\ \mathrm{m/s} (e queremos também fórmulas em termos de v_{1});
    • diferença de altura entre os pontos é nula (mesmo nível).
  • O que o enunciado pede:
    1. Calcular a vazão do cano (fluxo volumétrico) — expressa em termos de d_{1} e de v_{1} (é pedido também considerar o dado numérico v_{1}=15\\ \mathrm{m/s}).
    2. Calcular a velocidade na região 2, expressa em termos de v_{1}, d_{1}, d_{2}.
    3. Considerando a diferença de altura nula, obter a pressão no interior do cano (na região 2) em termos de g, da densidade da água p, da pressão atmosférica P_{\text{atm}} e das velocidades em 1 e 2. Também vou dar a forma substituindo a expressão de v_{2} em função de v_{1},d_{1},d_{2}.

Passo 2

Vamos calcular a vazão usando a equação de continuidade — explico calma e passo a passo.
  • Conceito: vazão (fluxo volumétrico) é o volume de fluido que passa por uma secção por unidade de tempo. Denotamos por Q.
  • Fórmula básica da continuidade para um fluido incompressível e escoamento estacionário: Q = A \cdot vonde A é a área da seção transversal (m²) e v é a velocidade média do fluido nessa seção (m/s).
  • Área de uma seção circular dada por diâmetro: se o diâmetro é d, A = \frac{\pi d^{2}}{4}.Aqui cada variável significa:
    • d: diâmetro da seção (m);
    • A: área da seção (m²);
    • \pi: constante \approx 3,1416.
Aplicando isso à região 1 (onde temos d_{1} e v_{1}):
Q = A_{1} v_{1} = \frac{\pi d_{1}^{2}}{4}\, v_{1}.
Unidades: \frac{\mathrm{m}^{2}\cdot\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}, que é correto para vazão.
Agora usando o valor numérico v_{1}=15\\ \mathrm{m/s} (se quiser a forma numérica em função de d_{1}):
Q = \frac{\pi d_{1}^{2}}{4}\cdot 15 = \frac{15\pi}{4}\, d_{1}^{2}\quad(\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}).

Passo 3

Agora obtemos a velocidade na região 2 a partir da conservação de massa (continuidade). Explico passo a passo:
  • A vazão é a mesma em qualquer seção do mesmo escoamento incompressível e estacionário. Logo: Q = A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2}.
  • Isolando v_{2}: v_{2} = \frac{A_{1}}{A_{2}}\, v_{1}.
  • Substituindo as áreas em termos dos diâmetros ( A=\pi d^{2}/4), o fator \pi/4 cancela: v_{2} = \frac{\pi d_{1}^{2}/4}{\pi d_{2}^{2}/4}\, v_{1} = \frac{d_{1}^{2}}{d_{2}^{2}}\, v_{1}.
  • Se substituirmos o valor numérico v_{1}=15\\ \mathrm{m/s}, obtemos: v_{2} = 15\\ \frac{d_{1}^{2}}{d_{2}^{2}}\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação física curta: se a seção aumenta ( d_{2}>d_{1}), a velocidade v_{2} diminui proporcionalmente ao quadrado dos diâmetros.

Passo 4

Agora vamos achar a pressão no interior do cano (região 2) usando o teorema de Bernoulli — explico o princípio e as hipóteses:
  • Princípio: para um escoamento ideal (incompressível, sem atrito significativo, e em regime estacionário), ao longo de uma linha de corrente a soma da pressão estática, da pressão dinâmica (energia cinética por volume) e da pressão potencial (energia potencial por volume) é constante.
  • Equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 2: P_{1} + \tfrac{1}{2} p v_{1}^{2} + p g z_{1} = P_{2} + \tfrac{1}{2} p v_{2}^{2} + p g z_{2},onde:
    • P é a pressão estática (Pa),
    • p é a densidade do fluido (kg/m³) — o enunciado chamou de “deusidade” p,
    • g é a aceleração da gravidade (m/s²),
    • z é a cota vertical (m).
  • Hipóteses aplicadas ao nosso caso: nos foi dito que a diferença de altura é nula, então z_{1}=z_{2} e os termos p g z cancelam. Além disso, a região 1 é a extremidade aberta (o jato), logo a pressão na superfície do jato é a pressão atmosférica: P_{1}=P_{\text{atm}}.
  • Simplificando Bernoulli com essas hipóteses: P_{\text{atm}} + \tfrac{1}{2} p v_{1}^{2} = P_{2} + \tfrac{1}{2} p v_{2}^{2}.
  • Isolando P_{2}: P_{2} = P_{\text{atm}} + \tfrac{1}{2} p\bigl(v_{1}^{2} - v_{2}^{2}\bigr).
Interpretação física: se v_{2}<v_{1} (seção maior no interior), então P_{2}>P_{\text{atm}} — a pressão no interior é maior que a atmosférica porque parte da energia cinética do jato foi convertida em pressão.

Passo 5

Expressão final da pressão substituindo v_{2} em função de v_{1}, d_{1}, d_{2}:
  • Como vimos, v_{2} = v_{1}\,\frac{d_{1}^{2}}{d_{2}^{2}},então v_{2}^{2} = v_{1}^{2}\,\frac{d_{1}^{4}}{d_{2}^{4}}.
  • Substituindo em P_{2} = P_{\text{atm}} + \tfrac{1}{2} p\bigl(v_{1}^{2} - v_{2}^{2}\bigr) obtemos: P_{2} = P_{\text{atm}} + \tfrac{1}{2}\,p\,v_{1}^{2}\left(1 - \frac{d_{1}^{4}}{d_{2}^{4}}\right).
Essa é a expressão da pressão na região mais larga (interior do cano) em termos de P_{\text{atm}}, p, v_{1}, d_{1}, d_{2}.

Resposta

Q = \frac{\pi d_{1}^{2}}{4}\, v_{1} \quad\text{(vazão)}ã
Q = \frac{15\pi}{4}\, d_{1}^{2}\\ \mathrm{m^{3}/s}\quad\text{(usando }v_{1}=15\\ \mathrm{m/s}\text{)}
v_{2} = \frac{d_{1}^{2}}{d_{2}^{2}}\, v_{1}
P_{2} = P_{\text{atm}} + \tfrac{1}{2}\,p\bigl(v_{1}^{2}-v_{2}^{2}\bigr)
P_{2} = P_{\text{atm}} + \tfrac{1}{2}\,p\,v_{1}^{2}\!\left(1 - \frac{d_{1}^{4}}{d_{2}^{4}}\right)

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