(2,0 pt) Uma antena na forma de espira, com área de 20 \mathrm{~cm}^{2} e uma resistência de 6,0 \mu \Omega, é mantida perpendicular a um campo magnético uniforme de módulo 75 T . O módulo do campo diminui para zero em 3,0 \mathrm{~s}. Qual é a energia térmica dissipada na espira pela variação do campo magnético?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a quantidade de energia térmica dissipada na espira quando o campo magnético varia:
  • Área da espira: 20\\ \mathrm{cm}^2.
  • Resistência da espira: 6{,}0\\ \mu\Omega.
  • Campo magnético inicial: 75\\ \mathrm{T}.
  • O campo diminui até zero em 3{,}0\\ \mathrm{s}.
  • A espira é mantida perpendicular ao campo durante todo o processo.
O que se pede: calcular a energia térmica dissipada na espira durante a variação do campo magnético.

Passo 2

Vamos converter todos os dados para o sistema SI (para evitar confusões nas contas):
  • Área: 20\\ \mathrm{cm}^2 = 20\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2 = 2{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^2. Vou chamar isso de A, então \displaystyle A = 2{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^2.
  • Resistência: 6{,}0\\ \mu\Omega = 6{,}0\times10^{-6}\\ \Omega. Vou chamar de R, então \displaystyle R = 6{,}0\times10^{-6}\\ \Omega.
  • Variação do campo magnético: \Delta B = 75\\ \mathrm{T} (vai de 75\\ \mathrm{T} a 0\\ \mathrm{T}).
  • Intervalo de tempo: \Delta t = 3{,}0\\ \mathrm{s}.

Passo 3

Relembrando a lei de Faraday (a ferramenta que usamos aqui): a fem (força eletromotriz) induzida numa espira é dada por
\mathcal{E} = -\frac{d\Phi}{dt},
onde \Phi é o fluxo magnético através da espira. O fluxo magnético é
\Phi = B\cdot A\cdot\cos\theta.
Como a espira é mantida perpendicular ao campo, \theta=0 e \cos\theta=1, portanto
\Phi(t)=B(t)\,A.
Aqui eu expliquei: \Phi mede “quantidade de campo” atravessando a área; mudar B muda \Phi, e isso gera \mathcal{E}.

Passo 4

O enunciado diz que o campo diminui uniformemente de 75\\ \mathrm{T} a 0\\ \mathrm{T} em 3{,}0\\ \mathrm{s}. Isso significa que B(t) varia linearmente, logo dB/dt é constante. Assim a fem induzida (módulo) é constante e vale
|\mathcal{E}| = A\left|\frac{dB}{dt}\right| = A\frac{\Delta B}{\Delta t}.
Substituindo os valores:
|\mathcal{E}| = \left(2{,}0\times10^{-3}\right)\frac{75}{3{,}0}\\ \mathrm{V}.
Calculemos passo a passo: \dfrac{75}{3{,}0}=25. Então
|\mathcal{E}| = 2{,}0\times10^{-3}\times25 = 5{,}0\times10^{-2}\\ \mathrm{V} = 0{,}050\\ \mathrm{V}.

Passo 5

A corrente induzida (módulo) na espira é dada pela lei de Ohm aplicada à fem:
I=\frac{|\mathcal{E}|}{R}.
Mas para calcular a energia dissipada não precisamos calcular I separadamente — podemos usar a potência dissipada por efeito Joule:
P(t)=I^2R=\frac{\mathcal{E}^2}{R}.
Aqui a \mathcal{E} é constante, então P é constante durante o intervalo \Delta t. A energia térmica dissipada é
W = P\,\Delta t = \frac{\mathcal{E}^2}{R}\,\Delta t.
Substituindo \mathcal{E}=A\frac{\Delta B}{\Delta t} obtemos uma forma útil:
W=\frac{A^2(\Delta B)^2}{R\,\Delta t}.
Essa fórmula já junta tudo de uma vez — é prática e evita passos desnecessários.

Passo 6

Agora substituímos os valores numéricos em SI na expressão
W=\frac{A^2(\Delta B)^2}{R\,\Delta t}.
Compute cada parte:
  • A^2 = \left(2{,}0\times10^{-3}\right)^2 = 4{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^4.
  • (\Delta B)^2 = 75^2 = 5\,625\\ \mathrm{T}^2.
  • R\,\Delta t = (6{,}0\times10^{-6})\times(3{,}0) = 1{,}8\times10^{-5}\\ \Omega\cdot\mathrm{s}.
Agora o numerador:
A^2(\Delta B)^2 = 4{,}0\times10^{-6}\times5\,625 = 0{,}0225.
Logo
W = \frac{0{,}0225}{1{,}8\times10^{-5}}.
Dividindo:
W = 1{,}250\times10^{3}\\ \mathrm{J} = 1250\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Interpretação e checagem rápida: a energia dissipada de 1250\\ \mathrm{J} é a energia elétrica transformada em calor na resistência devido à corrente induzida. Essa energia vem do trabalho feito pelo campo magnético externo (ou pelo circuito que modifica o campo): a diminuição do campo fornece a energia que é dissipada como calor — portanto a ordem de grandeza faz sentido.

Resposta

1250\\ \mathrm{J}

Exercícios relacionados