(**) Uma máquina térmica ideal (que opera no ciclo de Carnot) funciona entre um reservatório quente a 800 K e um reservatório frio a 400 K . Se a máquina absorve 2000 J de calor da fonte quente em cada ciclo, qual é o trabalho líquido (em módulo) realizado pela máquina por ciclo? Qual é a variação da entropia do universo após um ciclo?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas. Dados:
T_{\text{quente}} = 800\\ \text{K},\qquad T_{\text{frio}} = 400\\ \text{K}, \qquad Q_{h}=2000\\ \text{J}
Onde Q_{h} é o calor absorvido da fonte quente por ciclo. Perguntas:
  1. Qual é o trabalho líquido (em módulo) realizado pela máquina por ciclo?
  2. Qual é a variação da entropia do universo após um ciclo?

Passo 2

Conceito importante: uma máquina térmica que opera no ciclo de Carnot é ideal e reversível. A eficiência de uma máquina de Carnot é dada pela fórmula
\eta = 1 - \frac{T_{c}}{T_{h}},
onde T_{h} é a temperatura da fonte quente e T_{c} é a temperatura da fonte fria. Explicando as variáveis: \eta é a fração do calor extraído da fonte quente que é convertido em trabalho; T_{h} e T_{c} estão em kelvin e devem ser usadas em escala absoluta. Essa expressão vem do fato de que, para um ciclo reversível, relações entre calores e temperaturas se reduzem a essa forma.

Passo 3

Aplicando a fórmula da eficiência com os dados do problema:
\eta = 1 - \frac{T_{\text{frio}}}{T_{\text{quente}}} = 1 - \frac{400}{800} = 1 - 0{,}5 = 0{,}5.
Ou seja, a eficiência é 50\%.

Passo 4

Relação entre trabalho, eficiência e calor absorvido: a eficiência também pode ser escrita como
\eta = \frac{W}{Q_{h}},
onde W é o trabalho realizado por ciclo (módulo). Então
W = \eta\,Q_{h}.
Substituindo os valores:
W = 0{,}5 \times 2000\\ \text{J} = 1000\\ \text{J}.
Portanto o trabalho por ciclo em módulo é 1000\\ \text{J}.

Passo 5

Para calcular a variação de entropia dos reservatórios usamos a definição (para uma transferência de calor reversível):
\Delta S = \frac{Q_{\text{trocado}}}{T},
onde Q_{\text{trocado}} é positivo se o reservatório recebe calor e negativo se perde calor, e T é a temperatura do reservatório (em K). Essa fórmula vale exatamente para processos reversíveis ou para as trocas de calor com um reservatório suficientemente grande que permanece a temperatura constante.

Passo 6

Precisamos do calor rejeitado para o reservatório frio Q_{c}. Pelo balanço de energia do ciclo:
Q_{h} = W + Q_{c} \quad\Rightarrow\quad Q_{c} = Q_{h}-W.
Substituindo:
Q_{c} = 2000\\ \text{J} - 1000\\ \text{J} = 1000\\ \text{J}.

Passo 7

Agora calculamos as variações de entropia dos dois reservatórios. Para o reservatório quente (ele perde calor), a variação é
\Delta S_{\text{quente}} = -\frac{Q_{h}}{T_{\text{quente}}} = -\frac{2000}{800}\\ \text{J/K} = -2{,}5\\ \text{J/K}.
Para o reservatório frio (ele ganha calor), a variação é
\Delta S_{\text{frio}} = \frac{Q_{c}}{T_{\text{frio}}} = \frac{1000}{400}\\ \text{J/K} = 2{,}5\\ \text{J/K}.

Passo 8

A variação total da entropia do universo (reservatório quente + reservatório frio) após um ciclo é a soma:
\Delta S_{\text{universo}} = \Delta S_{\text{quente}} + \Delta S_{\text{frio}} = -2{,}5 + 2{,}5 = 0\\ \text{J/K}.
Explicação física curta: como o ciclo de Carnot é reversível, não há produção líquida de entropia; todo ganho de entropia em um reservatório é exatamente compensado pela perda no outro.

Resposta

W = 1000\\ \text{J}
\Delta S_{\text{universo}} = 0\\ \text{J/K}

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