Uma antena de radiodifusão de 52 kW emite ondas à frequência de 6,65 \mathrm{MHz}.
a) Quantos fótons ela emite por segundo?
b) Você acha que a natureza quântica da radiação é importante ao analisar a emissão de ondas eletromagnéticas dessa antena? Justifique!

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
  • Dados fornecidos:
    • Potência da antena: P=52\\ \text{kW}.
    • Frequência da radiação: f=6{,}65\\ \text{MHz}.
  • Conversões que vou precisar (apenas identifico agora):
    • 1\\ \text{kW}=10^{3}\\ \text{W}.
    • 1\\ \text{MHz}=10^{6}\\ \text{Hz}.
  • O enunciado pede:
    (a) Quantos fótons são emitidos por segundo pela antena?
    (b) Se a natureza quântica da radiação é importante para analisar a emissão — justificar a resposta.

Passo 2

Explico a ideia física e a fórmula que vamos usar (aulas rápidas sobre fótons and energia).
  • Conceito: cada fóton tem energia dada por Planck. A fórmula é
E_{\text{fóton}}=h\,f,ó
onde:
  • E_{\text{fóton}}ó é a energia de um fóton (em joules, \mathrm{J});
  • h é a constante de Planck; vou usar o valor
h=6{,}62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s};
  • f é a frequência da radiação (em hertz, \mathrm{Hz}).
  • Interpretação prática: se a antena entrega potência P (energia por segundo), o número de fótons emitidos por segundo N é a razão entre a energia total emitida por segundo e a energia de cada fóton:
N=\frac{P}{E_{\text{fóton}}}=\frac{P}{h\,f}.ó
Antes de calcular, converto os dados para unidades padrão (SI):
P=52\\ \text{kW}=52\times10^{3}\\ \text{W}=5{,}2\times10^{4}\\ \mathrm{J/s},
f=6{,}65\\ \text{MHz}=6{,}65\times10^{6}\\ \mathrm{Hz}.

Passo 3

Calculo a energia de um fóton usando \,E_{\text{fóton}}=h fó.
Faço a conta (mostrando os passos numéricos):
E_{\text{fóton}}=(6{,}62607015\times10^{-34})\cdot(6{,}65\times10^{6})\\ \mathrm{J}.ó
Multiplicando os fatores numéricos e as potências de dez:
E_{\text{fóton}}=6{,}62607015\cdot6{,}65\times10^{-34+6}\\ \mathrm{J} =44{,}0633665\times10^{-28}\\ \mathrm{J}.ó
Escrevendo em potência de dez padrão:
E_{\text{fóton}}\approx4{,}4063\times10^{-27}\\ \mathrm{J}.ó
Opcionalmente, para termos uma noção em outra unidade, converto para elétron-volts (só para entendimento):
1\\ \mathrm{eV}=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J},
E_{\text{fóton}}\approx\frac{4{,}4063\times10^{-27}}{1{,}6022\times10^{-19}}\\ \mathrm{eV}\approx2{,}75\times10^{-8}\\ \mathrm{eV}.ó
Isto mostra que cada fóton de rádio tem energia extremamente pequena.

Passo 4

Agora calculo o número de fótons por segundo:
N=\frac{P}{E_{\text{fóton}}}=\frac{5{,}2\times10^{4}}{4{,}4063\times10^{-27}}.ó
Faço a divisão:
N\approx\frac{5{,}2}{4{,}4063}\times10^{4-(-27)} \approx1{,}1803\times10^{31}.
Arredondando com três algarismos significativos:
N\approx1{,}18\times10^{31}\\ \text{fótons por segundo}.ó

Passo 5

Resposta à parte (b): explico didaticamente se a natureza quântica é relevante e por quê.
  • Intuição: a descrição quântica seria necessária quando a energia por fóton ou o número de fótons forem importantes ao nível onde a discreção individual conta (por exemplo em contagem de poucos fótons, efeitos de emissão/absorção por átomo isolado, detectores sensíveis a fótons individuais, regimes ópticos quânticos etc.).
  • No caso da antena:
    • A energia por fóton é \,E_{\text{fóton}}\approx4{,}4\times10^{-27}\\ \mathrm{J}ó (ou \sim2{,}8\times10^{-8}\\ \mathrm{eV}), muito, muito pequena.
    • A antena emite cerca de \,1{,}18\times10^{31} fótons por segundo — um número astronomicamente grande.
  • Consequência prática: por causa do enorme número de fótons envolvidos, as flutuações quânticas associadas à emissão discreta (por exemplo ruído de contagem tipo “shot noise” de fótons) são desprezíveis na maioria das grandezas macroscópicas; o campo eletromagnético pode ser tratado com as equações clássicas de Maxwell, e a energia transmitida é bem descrita por potência e intensidade clássicas.
  • Conclusão curta: não, a natureza quântica da radiação não é importante para analisar a emissão dessa antena em termos práticos — a descrição clássica de ondas eletromagnéticas é perfeitamente adequada aqui.

Resposta

(a) 1{,}18\times10^{31}\\ \text{fótons/s}ó
(b) Não. A natureza quântica não é relevante na análise prática dessa antena, porque cada fóton tem energia extremamente pequena ( \sim4{,}4\times10^{-27}\\ \mathrm{J}) e a emissão envolve um número enorme de fótons por segundo, de modo que a descrição clássica por ondas é suficiente.

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