Para um determinado metal, observa-se que o potencial de corte é de 3,2 \mathrm{~V} para luz de um certo comprimento de onda. Se for utilizada luz com o dobro deste comprimento de onda, o potencial de corte cai para 0,8 \mathrm{~V}. Determine o comprimento de onda da primeira radiação, a função trabalho do metal e a frequência de corte do metal.

Passo 1

O enunciado dá duas medições do potencial de corte (stopping potential) para o mesmo metal com duas radiações relacionadas entre si. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
  • Dados:
    • Para a primeira radiação (comprimento de onda \lambda_1) o potencial de corte é V_1 = 3,2\\ \mathrm{V}.
    • Para a segunda radiação o comprimento de onda é o dobro da primeira: \lambda_2 = 2\lambda_1. O potencial de corte para essa radiação é V_2 = 0,8\\ \mathrm{V}.
  • O que se pede:
    1. Determinar o comprimento de onda da primeira radiação \lambda_1.
    2. Determinar a função trabalho do metal \varphi.
    3. Determinar a frequência de corte (frequência limite) do metal f_{\text{corte}}.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (uma pequena “aula” prática):
  • Na experiência fotoelétrica, um fóton de frequência \nu entrega energia h\nu ao elétron. Parte dessa energia vence a função trabalho \varphi do metal; o resto vira energia cinética máxima dos elétrons, que é medida pelo potencial de corte V_0.
  • A equação de Einstein para efeito fotoelétrico é:
eV_0 = h\nu - \varphi
onde:
  • e é a carga do elétron ( e = 1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C}),
  • V_0 é o potencial de corte (em volts),
  • h é a constante de Planck ( h = 6,62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\\ s}),
  • \nu é a frequência da luz,
  • \varphi é a função trabalho (em joules).
  • Ligando frequência e comprimento de onda vale:
\nu = \frac{c}{\lambda}
onde c é a velocidade da luz ( c = 2,99792458\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}).

Passo 3

Escrevendo a equação para cada caso (usar \nu = c/\lambda):
Para \lambda_1 (potencial V_1):
eV_1 = h\frac{c}{\lambda_1} - \varphi.
Para \lambda_2 = 2\lambda_1 (potencial V_2):
eV_2 = h\frac{c}{2\lambda_1} - \varphi.
Nessas duas equações a incógnita comum é \varphi; podemos eliminar \varphi subtraindo uma equação da outra.

Passo 4

Subtraindo a segunda equação da primeira para eliminar \varphi:
eV_1 - eV_2 = h\frac{c}{\lambda_1} - h\frac{c}{2\lambda_1}.
No lado direito fatoramos h c/\lambda_1:
e(V_1 - V_2) = h\frac{c}{\lambda_1}\left(1 - \tfrac{1}{2}\right) = h\frac{c}{\lambda_1}\cdot\tfrac{1}{2} = \frac{hc}{2\lambda_1}.
Isolando \lambda_1 obtemos a fórmula:
\lambda_1 = \frac{hc}{2e(V_1 - V_2)}.
Agora substituímos os valores numéricos. Vou usar os valores das constantes:
h = 6,62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s},\quad c = 2,99792458\times10^{8}\\ \mathrm{m/s},\quad e = 1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
E V_1 - V_2 = 3,2 - 0,8 = 2,4\\ \mathrm{V}.
Calcular numerador hc:
hc \approx 6,62607015\times10^{-34}\times2,99792458\times10^{8} \approx 1,98644586\times10^{-25}\\ \mathrm{J\,m}.
Denominador 2e(V_1-V_2):
2e(V_1-V_2)=2\times1,602176634\times10^{-19}\times2,4 \approx 7,6904480\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
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\lambda_1 \approx \frac{1,98644586\times10^{-25}}{7,6904480\times10^{-19}} \approx 2,58\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
Convertendo para nanômetros:
\lambda_1 \approx 2,58\times10^{-7}\\ \mathrm{m} = 258\\ \mathrm{nm}.

Passo 5

Agora calculamos a função trabalho \varphi. Usamos a equação para \lambda_1:
\varphi = h\frac{c}{\lambda_1} - eV_1.
Já calculámos h c/\lambda_1 indiretamente ao obter \lambda_1. Vamos calcular explicitamente a energia do fóton correspondente a \lambda_1:
h\frac{c}{\lambda_1} \approx \frac{1,98644586\times10^{-25}}{2,58\times10^{-7}} \approx 7,690448\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Para ver isso em elétron-volts (mais comum para função trabalho), converte-se dividindo por e:
\frac{7,690448\times10^{-19}}{1,602176634\times10^{-19}}\approx 4,80\\ \mathrm{eV}.
Então
\varphi = (4,80\\ \mathrm{eV}) - (3,20\\ \mathrm{eV}) = 1,60\\ \mathrm{eV}.
Convertendo \varphi para joules:
\varphi \approx 1,60\times1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J} \approx 2,56\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Cálculo da frequência de corte f_{\text{corte}}.
  • Definição: na frequência limite a energia do fóton é exatamente a função trabalho, então
h f_{\text{corte}} = \varphi \quad\Rightarrow\quad f_{\text{corte}} = \frac{\varphi}{h}.
Usando \varphi \approx 2,5635\times10^{-19}\\ \mathrm{J} (valor numérico acima) e h = 6,62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}:
f_{\text{corte}} \approx \frac{2,56\times10^{-19}}{6,62607015\times10^{-34}} \approx 3,87\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}.
(O cálculo em eV também dá o mesmo: f_{\text{corte}} = \dfrac{1,60\\ \mathrm{eV}}{4,135667662\times10^{-15}\\ \mathrm{eV\,s}}\approx 3,87\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}.)

Passo 7

Resumo final dos valores calculados (apenas a parte essencial, para conferir rapidamente).

Resposta

\lambda_1 = 2,58\times10^{-7}\\ \mathrm{m} = 258\\ \mathrm{nm}
\varphi = 1,60\\ \mathrm{eV} \approx 2,56\times10^{-19}\\ \mathrm{J}
f_{\text{corte}} = 3,87\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}

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