Um cubo de gelo de 8,0 \mathrm{~g} a -10^{\circ} \mathrm{C} é colocado em uma garrafa térmica com 100 \mathrm{~cm}^{3} de água a 20^{\circ} \mathrm{C}. De quanto varia a entropia do sistema cubo-água até o equilíbrio ser alcançado? O calor específico do gelo é 2220 \mathrm{~J} / \mathrm{kg}. K. o calor específico da água é 4187 \mathrm{~J} / \mathrm{Kg} . \mathrm{K}, e o calor de transformação de fusão do gelo é 333 \mathrm{~kJ} / \mathrm{Kg}. Justifique a sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede a variação de entropia do sistema composto pelo cubo de gelo e pela água até o equilíbrio térmico. Dados fornecidos (pego do enunciado):
  • massa do gelo: m_{\text{gelo}} = 8{,}0\\ \mathrm{g} = 0,008\\ \mathrm{kg}.
  • temperatura inicial do gelo: T_{\text{gelo,i}} = -10^\circ\mathrm{C}.
  • volume da água: 100\\ \mathrm{cm}^3 = 100\\ \mathrm{mL}, portanto massa da água m_{\text{água}} = 0{,}100\\ \mathrm{kg}á (densidade 1{,}0\\ \mathrm{g/cm^3}).
  • temperatura inicial da água: T_{\text{água,i}} = 20^\circ\mathrm{C}á.
  • calor específico do gelo: c_{\text{gelo}} = 2220\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • calor específico da água líquida: c_{\text{água}} = 4187\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}á.
  • calor latente de fusão do gelo: L_f = 333\\ \mathrm{kJ/kg} = 333000\\ \mathrm{J/kg}.
  • ponto de fusão do gelo: T_m = 0^\circ\mathrm{C} = 273{,}15\\ \mathrm{K}.
O que é pedido: calcular \Delta S_{\text{sistema}} = \Delta S_{\text{gelo}} + \Delta S_{\text{água}}á até o equilíbrio, justificando o procedimento.

Passo 2

Primeira etapa física: determinar a temperatura final de equilíbrio T_f e verificar se o gelo derrete totalmente. Para isso usamos balanço de energia (garrafa térmica é isolada, logo calor trocado é interno entre gelo e água).
Calcular o calor necessário para levar o gelo de -10^\circ\mathrm{C} até água líquida a 0^\circ\mathrm{C}:
  • aquecer o gelo sólido de -10^\circ\mathrm{C} a 0^\circ\mathrm{C}:
Q_{1} = m_{\text{gelo}}\,c_{\text{gelo}}\,(T_m - T_{\text{gelo,i}}).
Substituindo:
Q_{1} = 0{,}008\cdot2220\cdot(273{,}15-263{,}15)=0{,}008\cdot2220\cdot10 = 177{,}6\\ \mathrm{J}.
  • fusão total do gelo a 0^\circ\mathrm{C}:
Q_{2} = m_{\text{gelo}}\,L_f = 0{,}008\cdot333000 = 2664\\ \mathrm{J}.
Calor total necessário para transformar o cubo em água a 0^\circ\mathrm{C}:
Q_{\text{gelo,tot}} = Q_1 + Q_2 = 177{,}6 + 2664 = 2841{,}6\\ \mathrm{J}.
Calor disponível da água ao resfriar de 20^\circ\mathrm{C} até 0^\circ\mathrm{C}:
Q_{\text{água\\ to\\ }0} = m_{\text{água}}\,c_{\text{água}}\,(T_{\text{água,i}} - T_m) =0{,}100\cdot4187\cdot(293{,}15-273{,}15)=0{,}100\cdot4187\cdot20=8374\\ \mathrm{J}.áááá
Comparando: Q_{\text{água\\ to\\ }0}=8374\\ \mathrm{J} > Q_{\text{gelo,tot}}=2841{,}6\\ \mathrm{J}á. Portanto o gelo derrete totalmente e sobra calor para aquecer a massa total de água acima de 0^\circ\mathrm{C}.

Passo 3

Calcular a temperatura final T_f após a fusão total. Energia restante após aquecer e fundir o gelo:
Q_{\text{rest}} = Q_{\text{água\\ to\\ }0} - Q_{\text{gelo,tot}} = 8374 - 2841{,}6 = 5532{,}4\\ \mathrm{J}.á
Essa energia aquece a massa total de água M_{\text{tot}} = m_{\text{água}} + m_{\text{gelo}} = 0{,}100 + 0{,}008 = 0{,}108\\ \mathrm{kg}á desde 0^\circ\mathrm{C} até T_f:
Q_{\text{rest}} = M_{\text{tot}}\,c_{\text{água}}\,(T_f - T_m).á
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T_f = T_m + \frac{Q_{\text{rest}}}{M_{\text{tot}}\,c_{\text{água}}}.á
Substituindo:
T_f = 273{,}15 + \frac{5532{,}4}{0{,}108\cdot4187}.
Calculemos o denominador: 0{,}108\cdot4187 = 452{,}196\\ \mathrm{J/K}. Então
\Delta T = \frac{5532{,}4}{452{,}196} \approx 12{,}234\\ \mathrm{K},
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T_f \approx 273{,}15 + 12{,}234 = 285{,}384\\ \mathrm{K} \approx 12{,}23^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Explicar como calcular variação de entropia para cada subsistema (aulas rápidas e concretas).
  • Entropia para aquecimento/resfriamento com calor específico constante: para massa m com calor específico c que muda de temperatura de T_a para T_b (em Kelvin), supondo processo reversível diferencialmente (uso da fórmula para \Delta S de um corpo), tem-se
\Delta S = \int_{T_a}^{T_b} \frac{m c\,dT}{T} = m c \ln\!\left(\frac{T_b}{T_a}\right).
Aqui T_a e T_b são temperaturas em Kelvin. Explicação útil: dQ_{\text{rev}} = m c\,dT e entropia é integral de dQ_{\text{rev}}/T.
  • Entropia para transformação de fase isoterma: se uma massa m funde a temperatura constante T_m absorvendo calor Q = m L_f, a variação de entropia é
\Delta S_{\text{fusão}} = \frac{Q}{T_m} = \frac{m L_f}{T_m},ã
pois T_m é constante durante a fusão (processo reversível ideal).
Sempre usar temperaturas em Kelvin nas expressões logarítmicas e divisor T.

Passo 5

Calcular \Delta S do gelo em três etapas (aquecimento sólido, fusão, aquecimento da água resultante até T_f).
  1. Aquecer o gelo de -10^\circ\mathrm{C} até 0^\circ\mathrm{C}:
\Delta S_{1} = m_{\text{gelo}}\,c_{\text{gelo}}\,\ln\!\left(\frac{T_m}{T_{\text{gelo,i}}}\right) =0{,}008\cdot2220\cdot\ln\!\left(\frac{273{,}15}{263{,}15}\right).
Cálculo numérico:
0{,}008\cdot2220 = 17{,}76\quad\text{e}\quad \ln\!\left(\frac{273{,}15}{263{,}15}\right)\approx 0{,}037316,
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\Delta S_{1}\approx 17{,}76\cdot0{,}037316 \approx 0{,}663\\ \mathrm{J/K}.
  1. Fusão do gelo a 0^\circ\mathrm{C}:
\Delta S_{2} = \frac{m_{\text{gelo}}\,L_f}{T_m} = \frac{0{,}008\cdot333000}{273{,}15} \approx 9{,}753\\ \mathrm{J/K}.
  1. Aquecer a água resultante de 0^\circ\mathrm{C} até T_f:
\Delta S_{3} = m_{\text{gelo}}\,c_{\text{água}}\,\ln\!\left(\frac{T_f}{T_m}\right) =0{,}008\cdot4187\cdot\ln\!\left(\frac{285{,}384}{273{,}15}\right).á
Cálculo numérico:
0{,}008\cdot4187 = 33{,}496,\quad \ln\!\left(\frac{285{,}384}{273{,}15}\right)\approx 0{,}04380,
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\Delta S_{3}\approx 33{,}496\cdot0{,}04380 \approx 1{,}466\\ \mathrm{J/K}.
Entropia total associada ao gelo (agora água) é
\Delta S_{\text{gelo}} = \Delta S_{1} + \Delta S_{2} + \Delta S_{3} \approx 0{,}663 + 9{,}753 + 1{,}466 = 11{,}882\\ \mathrm{J/K}.

Passo 6

Calcular \Delta S da água inicialmente a 20^\circ\mathrm{C} que resfria até T_f (resfriamento contínuo):
\Delta S_{\text{água}} = m_{\text{água}}\,c_{\text{água}}\,\ln\!\left(\frac{T_f}{T_{\text{água,i}}}\right) =0{,}100\cdot4187\cdot\ln\!\left(\frac{285{,}384}{293{,}15}\right).áááá
Cálculo numérico:
0{,}100\cdot4187 = 418{,}7,\quad \ln\!\left(\frac{285{,}384}{293{,}15}\right)=\ln(0{,}9739)\approx -0{,}02636,
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\Delta S_{\text{água}} \approx 418{,}7\cdot(-0{,}02636) \approx -11{,}037\\ \mathrm{J/K}.á

Passo 7

Somar as contribuições para obter a variação total de entropia do sistema isolado:
\Delta S_{\text{sistema}} = \Delta S_{\text{gelo}} + \Delta S_{\text{água}} \approx 11{,}882 + (-11{,}037) = 0{,}845\\ \mathrm{J/K}.á
Comentário físico: \Delta S_{\text{sistema}}>0 como esperado para um processo espontâneo irreversível em sistema isolado; o valor é pequeno mas positivo, o que significa que a desordem total aumentou quando o gelo derreteu e as temperaturas se igualaram.

Passo 8

Verificação de consistência e arredondamentos: usamos calores específicos constantes e tratamos a fusão como ocorrendo a T_m=273{,}15\\ \mathrm{K}. As aproximações numéricas (logs e produto de constantes) foram mantidas com precisão suficiente para a prova; o resultado final tem incerteza menor que algumas décimas de J/K. Se for necessário, pode-se apresentar o valor com duas casas significativas.

Resposta

\Delta S_{\text{sistema}} \approx 0,845\\ \mathrm{J/K}

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