I) Antes de começar o exercício liste as quatro séries de Maclaurin das funções mais vistas em sala de aula, dando seus respectivos raios de convergências.
II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
a) f(x)=3-x^2+7 x^4-x^5

Passo 1

O exercício pede: no item I) listar quatro séries de Maclaurin clássicas e seus respectivos raios de convergência; no item II) usar essas séries para obter a expansão de Maclaurin e o raio de convergência da função dada, que neste caso é um polinômio. Vamos precisar lembrar das séries padrão (exponencial, seno, cosseno e geométrica) e do conceito de raio de convergência.

Passo 2

As quatro séries de Maclaurin mais usadas em sala são:
e^x = sumn=0^infty x^nn!
Raio de convergência: R=infty.
sin x = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+1(2n+1)!
Raio de convergência: R=infty.
cos x = sumn=0^infty (-1)^n x^2n(2n)!
Raio de convergência: R=infty.
11 - x = sumn=0^infty x^n
Raio de convergência: R=1.

Passo 3

Para a função do item II(a), f(x)=3 - x^2 + 7x^4 - x^5, observamos que já é um polinômio. A série de Maclaurin de um polinômio coincide com ele mesmo, pois não há termos de ordem superior. Logo, podemos escrever
f(x) = 3 - x^2 + 7x^4 - x^5 = sumn=0^infty an x^n,
onde
a0 = 3, a2 = -1, a4 = 7, a5 = -1,
e todos os outros an=0 para n=1,3 ou n>5.

Passo 4

Como polinômios têm raio de convergência infinito, concluímos que R=infty para essa série de Maclaurin.

Resposta

f(x)=3 - x^2 + 7x^4 - x^5, série de Maclaurin igual ao próprio polinômio, e raio de convergência R=infty.

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