I) Antes de começar o exercício liste as quatro séries de Maclaurin das funções mais vistas em sala de aula, dando seus respectivos raios de convergências.
II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
a)
II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
a)
Passo 1
O exercício pede: no item I) listar quatro séries de Maclaurin clássicas e seus respectivos raios de convergência; no item II) usar essas séries para obter a expansão de Maclaurin e o raio de convergência da função dada, que neste caso é um polinômio. Vamos precisar lembrar das séries padrão (exponencial, seno, cosseno e geométrica) e do conceito de raio de convergência.
Passo 2
As quatro séries de Maclaurin mais usadas em sala são:
Raio de convergência:
.
Raio de convergência:
.
Raio de convergência:
.
Raio de convergência:
.
Passo 3
Para a função do item II(a),
, observamos que já é um polinômio. A série de Maclaurin de um polinômio coincide com ele mesmo, pois não há termos de ordem superior. Logo, podemos escrever
onde
e todos os outros
para
ou
.
Passo 4
Como polinômios têm raio de convergência infinito, concluímos que
para essa série de Maclaurin.