a) integral0^1(1-2 x)^3 d x
b) integral0^pi sen^2(1+theta2) d theta
c) integral0^pi sen^2(x4) cos (x4) d x

Passo 1

Temos três integrais definidas para resolver: a) integral0^1(1-2x)^3dx, b) integral0^pisin^2(1+tfractheta2)dtheta e c) integral0^pisin^2(tfracx4)cos(tfracx4)dx. O conteúdo envolve cálculo de integrais definidas, usando expansão ou substituição e identidades trigonométricas.

Passo 2

Para a integral a), podemos expandir o polinômio e integrar termo a termo. Temos
integral0^1(1-2x)^3dx = integral0^1(1 -6x +12x^2 -8x^3)dx = l[x -3x^2 +4x^3 -2x^4r]0^1 = 1 -3 +4 -2 = 0

Passo 3

Na integral b), usamos a identidade sin^2u = tfrac1-cos(2u)2 com u=1+tfractheta2. Assim,
sin^2l(1+tfractheta2r) = 1-cos(2+theta)2,
e
integral0^pisin^2l(1+tfractheta2r)dtheta = 12integral0^pidtheta - 12integral0^picos(theta+2)dtheta = pi2 - 12[sin(theta+2)]0^pi = pi2 + sin2

Passo 4

Na integral c), fazemos a substituição t=sin(tfracx4), logo dt=tfrac14cos(tfracx4)dx e cos(tfracx4)dx=4,dt. Os limites vão de t(0)=0 a t(pi)=tfracraiz22. Então
integral0^pisin^2l(tfracx4r)cosl(tfracx4r)dx = 4integral0^tfracraiz22t^2dt = 4l[tfract^33r]0^tfracraiz22 = raiz23

Resposta

a) 0; b) tfracpi2 + sin2; c) tfracraiz23.

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