a) integral(x+1) d x
b) integral(e^-x+4^x) d x
c) integral(raizx+raiz[3]x) d x
d) integral(2raiz1-y^2-1y^1 / 4) d y
e) integral(t raizt+raiztt^2) d t
f) integral 7 sen theta3 d theta
g) integral(1+tg^2 theta) d theta
h) integral cos theta cdot(tg theta+sec theta) d theta
i) integral cosec thetacosec theta-sen theta d theta

Passo 1

Estamos resolvendo nove integrais indefinidas de diferentes tipos: polinômios, expoenciais, radicais e funções trigonométricas. Para cada uma vamos usar as regras básicas de integração: regra do poder, integrais de exponenciais, integrals de funções trigonométricas, substituição simples e identidades trigonométricas para simplificar o integrando.

Passo 2

Para as integrais que envolvem potências de x ou radicais aplicamos a regra do poder, que diz que
integral x^n ,dx=x^n+1n+1+C
desde que nneq -1. No caso (a) temos termos x^1 e x^0. Em © escrevemos raizx=x^1/2 e raiz[3]x=x^1/3 e aplicamos a mesma regra.

Passo 3

Para a parte (b) usamos a linearidade da integral e a integral de exponenciais. Sabendo que
integral e^ax ,dx=e^axa+C
podemos tratar e^-x com a=-1 e 4^x=e^xln4 com a=ln4.

Passo 4

Na (d) separamos em duas integrais: integral 2/(raiz1-y^2),dy que é 2arcsin(y) e integral y^-1/4,dy que usamos a regra do poder. Em (e) simplificamos o integrando escrevendo traiz t +raiz t =t^3/2+t^1/2 e dividindo por t^2 para obter potências de t, depois aplicamos a regra do poder.

Passo 5

Para as integrais trigonométricas (f) a (i) usamos substituição simples e identidades. Em (f) fazemos u=theta/3. Em (g) usamos 1+tan^2theta=sec^2theta. Em (h) expandimos costheta(tantheta+sectheta)=sintheta+1. Em (i) simplificamos cscthetacsctheta-sintheta escrevendo csctheta=1/sintheta e reduzindo a uma sec^2theta.

Resposta

a) x^22+x+C
b) -e^-x+4^xln4+C
c) 23x^3/2+34x^4/3+C
d) 2arcsin(y)-43y^3/4+C
e) 2raiz t-2t^-1/2+C
f) -21cos(tfractheta3)+C
g) tantheta+C
h) -costheta+theta+C
i) tantheta+C

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