(3 Pontos) Determine o fluxo do campo vetorial
, através do paraboloide
, com
, orientado para baixo. Note que a superfficie é aberta.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do campo vetorial
através do paraboloide
, para
, com orientação para baixo. Isso envolve usar parametrização da superfície, calcular o vetor normal orientado para baixo e avaliar
.
Passo 2
Parametrizamos o paraboloide por
no disco
:
Então
O produto vetorial dá o normal apontando para cima:
Para orientação para baixo, tomamos o oposto:
Passo 3
Na superfície vale
, então
O produto interno fica:
Passo 4
Passamos a coordenadas polares:
, com
e
. O integrando é
logo o fluxo é
Passo 5
Primeiro integramos em
:
Depois em
:
Assim o fluxo vale
Resposta
-\pi