(3 Pontos) Determine o fluxo do campo vetorial F=lang<= 0,-y, zrang<=, através do paraboloide z=x^2+y^2, com 0 <= z <= 1, orientado para baixo. Note que a superfficie é aberta.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo vetorial vec F=lang<=0,-y,zrang<= através do paraboloide z=x^2+y^2, para 0<= z<=1, com orientação para baixo. Isso envolve usar parametrização da superfície, calcular o vetor normal orientado para baixo e avaliar integral duplaSvec Fcdot dvec S.

Passo 2

Parametrizamos o paraboloide por (x,y) no disco D: x^2+y^2<=1:
r(x,y)=l(x,,y,,x^2+y^2r)
Então
rx=(1,0,2x), ry=(0,1,2y)
O produto vetorial dá o normal apontando para cima:
rxtimes ry =(-2x,-2y,1)
Para orientação para baixo, tomamos o oposto:
dvec S = -( rxtimes ry),dA=(2x,2y,-1),dA

Passo 3

Na superfície vale z=x^2+y^2, então
vec F( x,y,x^2+y^2)=lang<=0,-y,,x^2+y^2rang<=
O produto interno fica:
vec Fcdot dvec S = llang<=0,-y, x^2+y^2rrang<=cdot(2x,2y,-1),dA =l(-2y^2 - (x^2+y^2)r),dA =l(-x^2 -3y^2r),dA

Passo 4

Passamos a coordenadas polares: x=rcostheta, y=rsintheta, dA=r,dr,dtheta, com 0<= r<=1 e 0<=theta<2pi. O integrando é
-(x^2+3y^2)= -r^2(cos^2theta+3sin^2theta)
logo o fluxo é
integral duplaSvec Fcdot dvec S = -integral0^2piintegral0^1r^2(cos^2theta+3sin^2theta),r,dr,dtheta

Passo 5

Primeiro integramos em r:
integral0^1r^3,dr=14
Depois em theta:
integral0^2pi(cos^2theta+3sin^2theta),dtheta =integral0^2picos^2theta,dtheta +3integral0^2pisin^2theta,dtheta =pi+3pi=4pi
Assim o fluxo vale
-14times4pi = -pi

Resposta

-\pi

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