Antes de decidir sobre a expansão de sua capacidade de produção, uma determinada usina de açúcar está analisando a demanda para seu produto. Preliminarmente, os resultados indicam que a demanda média diária, em toneladas (Q), está em função do preço
, conforme a equação:
a) Assuma que esta empresa planeja vender 400 toneladas por dia. Qual o preço que ela vai cobrar?
b) Quantas toneladas por dia a companhia consegue vender ao preço de
300,00 / \mathrm{t}$ ?
c) Encontre a função de receita total e receita marginal
d) Plote as curvas de: demanda, receita marginal e receita total.
e) A que preço a usina maximizaria sua receita? Demonstre matematicamente.
b) Quantas toneladas por dia a companhia consegue vender ao preço de
c) Encontre a função de receita total e receita marginal
d) Plote as curvas de: demanda, receita marginal e receita total.
e) A que preço a usina maximizaria sua receita? Demonstre matematicamente.
Passo 1
O enunciado nos dá a demanda diária em toneladas
como função do preço
:
O que precisamos:
– Resolver a) e b) por simples álgebra.
– Em c) obter a receita total e a receita marginal
via derivada.
– Em d) caracterizar graficamente essas três curvas.
– Em e) maximizar matematicamente .
– Resolver a) e b) por simples álgebra.
– Em c) obter a receita total
– Em d) caracterizar graficamente essas três curvas.
– Em e) maximizar matematicamente
Passo 2
a) Se a empresa quer vender
t/dia, impõe
:
Logo ela cobraria R$
por tonelada.
Passo 3
b) Para
, basta calcular
Portanto, venderia
t/dia.
Passo 4
c) A receita total em função de
é
E a receita marginal é a derivada de
em relação a
:
Passo 5
d) Caracterização das curvas (no plano preço × quantidade para demanda, preço × receita para
e
):
– Demanda
: reta decrescente com intercepto em
e atinge
em
.
– Receita total : parábola côncava para baixo, zeros em
e
, pico em
.
– Receita marginal : reta decrescente interceptando o eixo em
e cruzando zero em
.
– Receita total
– Receita marginal
Passo 6
e) Para maximizar
, basta anular
:
Nesse preço a produção é
e a receita está no seu valor máximo.
Resposta
(a) R$
/t
(b) t/dia
(c)
(b)
(c)
(d) Demanda: reta decrescente de intercepto em
e zero em
;
Receita total: parábola côncava para baixo com zeros em e
, pico em
;
Receita marginal: reta decrescente de intercepto e zero em
.
(e) R$/t.
Receita total: parábola côncava para baixo com zeros em
Receita marginal: reta decrescente de intercepto
(e)