Antes de decidir sobre a expansão de sua capacidade de produção, uma determinada usina de açúcar está analisando a demanda para seu produto. Preliminarmente, os resultados indicam que a demanda média diária, em toneladas (Q), está em função do preço (\mathrm{P}), conforme a equação:
Q=f(P)=1000-1,2 P
a) Assuma que esta empresa planeja vender 400 toneladas por dia. Qual o preço que ela vai cobrar?
b) Quantas toneladas por dia a companhia consegue vender ao preço de \mathrm{R} \ 300,00 / \mathrm{t}$ ?
c) Encontre a função de receita total e receita marginal
d) Plote as curvas de: demanda, receita marginal e receita total.
e) A que preço a usina maximizaria sua receita? Demonstre matematicamente.

Passo 1

O enunciado nos dá a demanda diária em toneladas Q como função do preço P:
Q = f(P) = 1000 - 1,2\,P.
O que precisamos:
– Resolver a) e b) por simples álgebra.
– Em c) obter a receita total R_T e a receita marginal R'_T via derivada.
– Em d) caracterizar graficamente essas três curvas.
– Em e) maximizar matematicamente R_T.

Passo 2

a) Se a empresa quer vender 400 t/dia, impõe Q=400:
400 = 1000 - 1,2\,P \quad\Longrightarrow\quad 1,2\,P = 600 \quad\Longrightarrow\quad P = \frac{600}{1,2} = 500.
Logo ela cobraria R$ 500,00 por tonelada.

Passo 3

b) Para P = 300, basta calcular
Q = 1000 - 1,2\cdot300 = 1000 - 360 = 640.
Portanto, venderia 640 t/dia.

Passo 4

c) A receita total em função de P é
R_T(P) = P\cdot Q = P\bigl(1000 - 1,2P\bigr) = 1000P - 1,2P^2.
E a receita marginal é a derivada de R_T em relação a P:
R'_T(P) = \frac{d}{dP}\bigl(1000P - 1,2P^2\bigr) = 1000 - 2,4P.

Passo 5

d) Caracterização das curvas (no plano preço × quantidade para demanda, preço × receita para R_T e R'_T):
– Demanda Q(P)=1000-1,2P: reta decrescente com intercepto em (P=0,\;Q=1000) e atinge Q=0 em P=1000/1,2\approx833,33.
– Receita total R_T(P)=1000P-1,2P^2: parábola côncava para baixo, zeros em P=0 e P\approx833,33, pico em P=416,67.
– Receita marginal R'_T(P)=1000-2,4P: reta decrescente interceptando o eixo em 1000 e cruzando zero em P=1000/2,4\approx416,67.

Passo 6

e) Para maximizar R_T, basta anular R'_T(P):
1000 - 2,4P = 0 \quad\Longrightarrow\quad P = \frac{1000}{2,4} \approx 416,67.
Nesse preço a produção é
Q = 1000 - 1,2\cdot416,67 \approx 500\text{ t/dia},
e a receita está no seu valor máximo.

Resposta

(a) R$ 500/t
(b) 640 t/dia
(c)
R_T(P)=1000P-1,2P^2, \quad R'_T(P)=1000-2,4P.
(d) Demanda: reta decrescente de intercepto em (0,1000) e zero em P\approx833{,}33;
Receita total: parábola côncava para baixo com zeros em P=0 e P\approx833{,}33, pico em P\approx416{,}67;
Receita marginal: reta decrescente de intercepto 1000 e zero em P\approx416{,}67.
(e) P\approx416{,}67 R$/t.

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