Suponhamos que você seja responsável por definir sobre a cobrança de pedágio em uma ponte que praticamente não apresenta custos. A demanda diária das travessias pela ponte, Q , é expressa por meio da função de demanda inversa \mathrm{P}=15-0,5 \mathrm{Q}. Pede-se:
a) Quantas pessoas fariam a travessia diariamente pela ponte caso não houvesse pedágio?
b) Calcule o preço ótimo (i.e., de máxima receita) para a cobrança do pedágio. Qual é a receita máxima diária?

Passo 1

O enunciado nos dá a demanda inversa
P = 15 - 0{,}5\,Q
e pede:
(a) a quantidade Q quando não há pedágio (isto é, P=0),
(b) o preço do pedágio que maximiza a receita diária e o valor dessa receita.
O conteúdo aqui é maximização de receita total R(Q) de um “monopólio” sem custos, onde
R(Q)=P(Q)\,Q\,.

Passo 2

Para (a), sem pedágio temos P=0. Logo,
0 = 15 - 0{,}5\,Q \quad\Longrightarrow\quad 0{,}5\,Q = 15 \quad\Longrightarrow\quad Q = \frac{15}{0{,}5} = 30.
Sem pedágio, 30 pessoas atravessam a ponte por dia.

Passo 3

Definimos a receita diária como
R(Q) = P(Q)\,Q = \bigl(15 - 0{,}5\,Q\bigr)\,Q = 15\,Q - 0{,}5\,Q^2.

Passo 4

Para encontrar o ponto de máximo de R(Q), calculamos a derivada e igualamos a zero:
\frac{dR}{dQ} = 15 - Q \quad\Longrightarrow\quad 15 - Q = 0 \quad\Longrightarrow\quad Q^* = 15.

Passo 5

Substituindo Q^* na função demanda inversa para achar o preço ótimo:
P^* = 15 - 0{,}5 \times 15 = 15 - 7{,}5 = 7{,}5.

Passo 6

A receita máxima diária é
R(Q^*) = P^* \times Q^* = 7{,}5 \times 15 = 112{,}5.

Resposta

(a) Sem pedágio, Q=30 pessoas por dia.
(b) Preço ótimo P^*=7{,}5; receita máxima diária R_{\max}=112{,}5.

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