Um grupo de pesquisadores de um laboratório de síntese orgânica está investigando os fatores que afetam o rendimento de uma reação de esterificação para produção de acetato de etila em escala piloto. O objetivo do estudo é determinar como três variáveis independentes influenciam o rendimento percentual do produto obtido após 60 minutos de reação: temperatura de reação ( { }^{\circ} \mathrm{C}, \mathrm{X} 1 ); teor de catalisador ( \% \mathrm{~m} / \mathrm{m}, \mathrm{X} 2 ) e razão molar álcool/ácido ( \mathrm{A} / \mathrm{B}, \mathrm{X} 3 ). Durante os experimentos, todas as demais condições (tempo de reação, agitação e pureza dos reagentes) foram mantidas constantes. Foram realizadas 12 corridas experimentais, variando as três variáveis independentes conforme a tabela abaixo, com o rendimento do éster medido por cromatografia gasosa. Com base nos dados apresentados, responda as seguintes questões:
Temperatura ( { }^{\circ} \mathrm{C} ) Catalisador (%, m/m) Razão A/B Rendimento (%)
30 0.25 1.2 40.53
35 0.3 1.5 43.17
40 0.4 2 50.98
45 0.5 2.4 58.74
50 0.6 2.8 63.58
55 0.8 3 71.51
60 0.9 2.6 74.72
65 1 2.2 76.4
70 0.7 1.8 73.93
38 0.35 1.6 48.23
58 0.85 2.9 75.04
48 0.55 2.1 58.87
a) (2,00) Ajuste um modelo de regressão linear múltipla aos dados e apresente a equação do modelo com os coeficientes estimados.
b) (2,00) Os valores das estatísticas de regressão ( \mathrm{R}, \mathrm{R}^{2} e \mathrm{R}^{2}{ }_{\text {ajustado }} ) indicam que o modelo representa bem os dados? Justifique.
c) (1,00) Realize a ANOVA do modelo, apresentando o valor de Fe o p -valor. O modelo é significativo para representação dos dados de rendimento? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede ajuste de um modelo de regressão linear múltipla para prever o rendimento percentual Y a partir de três variáveis independentes: temperatura X_{1}, teor de catalisador X_{2} e razão molar álcool/ácido X_{3}. Vamos usar o método dos mínimos quadrados para estimar
Y = \beta_{0} + \beta_{1}X_{1} + \beta_{2}X_{2} + \beta_{3}X_{3} + \varepsilon.

Passo 2

Calculamos as somas necessárias \sum X_{j}, \sum Y, \sum (X_{j}-\bar X_{j})(X_{k}-\bar X_{k}) e \sum (X_{j}-\bar X_{j})(Y-\bar Y), montamos as equações normais e resolvemos para \beta_{1},\beta_{2},\beta_{3}. O intercepto sai de
\beta_{0} = \bar Y - \beta_{1}\,\bar X_{1} - \beta_{2}\,\bar X_{2} - \beta_{3}\,\bar X_{3}.
Fazendo as contas, obtém-se aproximadamente
\beta_{0}\approx 11{,}58,\quad \beta_{1}\approx 0{,}61,\quad \beta_{2}\approx 15{,}92,\quad \beta_{3}\approx 4{,}61.
Portanto o modelo ajustado é
\hat Y = 11{,}58 + 0{,}61\,X_{1} + 15{,}92\,X_{2} + 4{,}61\,X_{3}.

Passo 3

Para avaliar o ajuste calculamos
\mathrm{SSTO}=\sum (Y_{i}-\bar Y)^{2}\approx 1915{,}94, \quad \mathrm{SSR}=\sum (\hat Y_{i}-\bar Y)^{2}\approx 1910{,}37, \quad \mathrm{SSE}=\mathrm{SSTO}-\mathrm{SSR}\approx 5{,}57.
Então
R^{2}=\frac{\mathrm{SSR}}{\mathrm{SSTO}}\approx 0{,}9971, \quad R=\sqrt{R^{2}}\approx 0{,}9985,
e, com n=12 e p=3,
R^{2}_{\mathrm{ajustado}} =1-\frac{\mathrm{SSE}/(n-p-1)}{\mathrm{SSTO}/(n-1)} \approx 0{,}9960.
Esses valores indicam que o modelo explica quase toda a variação observada em Y.

Passo 4

Na ANOVA do modelo temos
graus de liberdade: regressão =3, resíduo =12-4=8.
\mathrm{MSR}=\frac{\mathrm{SSR}}{3}\approx 636{,}79, \quad \mathrm{MSE}=\frac{\mathrm{SSE}}{8}\approx 0{,}696.
O teste F é
F = \frac{\mathrm{MSR}}{\mathrm{MSE}}\approx \frac{636{,}79}{0{,}696}\approx 915{,}0,
com p-valor muito menor que 0,01. Logo o modelo é significativo para representar os dados de rendimento.

Resposta

a) \displaystyle \hat Y = 11{,}58 \;+\;0{,}61\,X_{1}\;+\;15{,}92\,X_{2}\;+\;4{,}61\,X_{3}.
b) R\approx0{,}9985,\\ R^{2}\approx0{,}9971,\\ R^{2}_{\text{ajustado}}\approx0{,}9960. Como R^{2} e R^{2}_{\text{ajustado}} estão muito próximos de 1, o modelo representa muito bem os dados.
c) Da ANOVA: F\approx915{,}0 com p\ll0{,}01. O modelo é estatisticamente significativo.

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