Nos problemas de 7 a 10, achar a solução do problema de valor inicial proposto.
(7-y^{\prime}-y=2 x e^{2 x}, y(0)=1).
(7-y^{\prime}-y=2 x e^{2 x}, y(0)=1).
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
O conteúdo é equação diferencial ordinária linear de primeira ordem e vamos precisar usar fator integrante.
Passo 2
Colocamos em forma padrão
;, aqui
e
.
O fator integrante é
O fator integrante é
Multiplicando a equação por
obtemos
Passo 3
Reconhecemos que o lado esquerdo é a derivada do produto
, isto é,
Passo 4
Integramos ambos os lados em relação a
:
Sabemos que
. Logo
Passo 5
Isolamos
multiplicando por
:
Para determinar
, usamos
:
Portanto, a solução geral que satisfaz a condição inicial é