Nos problemas de 7 a 10, achar a solução do problema de valor inicial proposto.
(7-y^{\prime}-y=2 x e^{2 x}, y(0)=1).

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y' - y = 2x e^{2x},\quad y(0)=1.
O conteúdo é equação diferencial ordinária linear de primeira ordem e vamos precisar usar fator integrante.

Passo 2

Colocamos em forma padrão \;y' + p(x)y = q(x);, aqui p(x)=-1 e q(x)=2x e^{2x}.
O fator integrante é
\mu(x) = e^{\int p(x)\,dx} = e^{\int -1\,dx} = e^{-x}.
Multiplicando a equação por \mu(x) obtemos
e^{-x}y' - e^{-x}y = 2x e^{2x}\,e^{-x} = 2x e^{x}.

Passo 3

Reconhecemos que o lado esquerdo é a derivada do produto \mu(x)y=e^{-x}y, isto é,
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}y\bigr) = 2x e^{x}.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
e^{-x}y = \int 2x e^{x}\,dx = 2\int x e^{x}\,dx.
Sabemos que \displaystyle\int x e^{x}\,dx = (x-1)e^{x} + C. Logo
e^{-x}y = 2(x-1)e^{x} + C.

Passo 5

Isolamos y multiplicando por e^{x}:
y = 2(x-1)e^{2x} + C e^{x}.
Para determinar C, usamos y(0)=1:
1 = 2(0-1)e^{0} + C e^{0} = -2 + C \quad\Longrightarrow\quad C = 3.
Portanto, a solução geral que satisfaz a condição inicial é
y(x) = 2(x-1)e^{2x} + 3e^{x}.

Resposta

y(x) = 2(x-1)e^{2x} + 3e^{x}.

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