Antes de uma eleç̧ão, um determinado partido está interessado em estimar a proporção de eleitores favoráveis ao seu candidato. Uma amostra piloto de tamanho 100 revelou que
dos eleitores eram favoráveis ao candidato.
(a) Utilizando a informação da amostra piloto, determine o tamanho da amostra para que, com 0,8 de probabilidade, o erro cometido na estimação seja no máximo 0,05.
(b) Se na amostra final, com o tamanho definido em (a), observou-se que
dos eleitores eram favoráveis ao candidato, construa um intervalo de
de confiança para proporção populacional de eleitores favoráveis ao candidato do partido.
(a) Utilizando a informação da amostra piloto, determine o tamanho da amostra para que, com 0,8 de probabilidade, o erro cometido na estimação seja no máximo 0,05.
(b) Se na amostra final, com o tamanho definido em (a), observou-se que
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que um partido fez uma amostra piloto de tamanho 100 e encontrou 60% de eleitores favoráveis.
Conteúdo: estimação de proporção via distribuição normal (Teorema do Limite Central) e cálculo de tamanho de amostra para erro máximo dado probabilidade desejada, depois construção de intervalo de confiança.
Para resolver, vamos precisar de:
• usar a aproximação normal para a estatística da proporção amostral ,
• saber qual z-score corresponde a probabilidade central de 0,8,
• usar a fórmula para achar
,
• e para o intervalo de 95% usar e
.
Conteúdo: estimação de proporção via distribuição normal (Teorema do Limite Central) e cálculo de tamanho de amostra para erro máximo dado probabilidade desejada, depois construção de intervalo de confiança.
Para resolver, vamos precisar de:
• usar a aproximação normal para a estatística da proporção amostral
• saber qual z-score corresponde a probabilidade central de 0,8,
• usar a fórmula
• e para o intervalo de 95% usar
Passo 2
(a) Tamanho de amostra para
.
- Na CLT,
. - Queremos
. Isso equivale a
, onde . - O erro máximo é
, e a proporção piloto é . - Da fórmula
substituindo: - Como
tem que ser inteiro, arredondamos para cima:
Passo 3
(b) Com
e observando
, montar intervalo de 95%.
- O z-score para 95% central é
. - O erro padrão é
- A margem de erro é
- Logo o intervalo de 95% é
Resposta
(a)
.
(b) Intervalo de confiança de 95%: .
(b) Intervalo de confiança de 95%: