Antes de uma eleç̧ão, um determinado partido está interessado em estimar a proporção de eleitores favoráveis ao seu candidato. Uma amostra piloto de tamanho 100 revelou que 60 % dos eleitores eram favoráveis ao candidato.
(a) Utilizando a informação da amostra piloto, determine o tamanho da amostra para que, com 0,8 de probabilidade, o erro cometido na estimação seja no máximo 0,05.
(b) Se na amostra final, com o tamanho definido em (a), observou-se que 51 % dos eleitores eram favoráveis ao candidato, construa um intervalo de 95 % de confiança para proporção populacional de eleitores favoráveis ao candidato do partido.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que um partido fez uma amostra piloto de tamanho 100 e encontrou 60% de eleitores favoráveis.
Conteúdo: estimação de proporção via distribuição normal (Teorema do Limite Central) e cálculo de tamanho de amostra para erro máximo dado probabilidade desejada, depois construção de intervalo de confiança.
Para resolver, vamos precisar de:
• usar a aproximação normal para a estatística da proporção amostral ,
• saber qual z-score corresponde a probabilidade central de 0,8,
• usar a fórmula para achar ,
• e para o intervalo de 95% usar e .

Passo 2

(a) Tamanho de amostra para E ;=; z0.9,raizp(1-p)n Longrightarrow n ;=; z0.9^2,p(1-p)E^2 .
  1. Na CLT, n = (1,2816)^2cdot0,6,(1-0,6)0,05^2 = 1,6419cdot0,240,0025 approx157,6 .
  2. Queremos n = 158 . Isso equivale a
    , onde .
  3. O erro máximo é , e a proporção piloto é .
  4. Da fórmula substituindo:
  5. Como tem que ser inteiro, arredondamos para cima:

Passo 3

(b) Com SE = raizhat p,(1-hat p)n = raiz0,51cdot0,49158 approx raiz0,001582 approx0,0398 e observando ME = z0.975times SE =1,96times0,0398 approx0,078 , montar intervalo de 95%.
  1. O z-score para 95% central é hat p pm ME =0,51 pm 0,078 =l[0,432,;0,588r] .
  2. O erro padrão é
  3. A margem de erro é
  4. Logo o intervalo de 95% é

Resposta

(a) .
(b) Intervalo de confiança de 95%: .

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