Uma população normal tem desvio padrão igual a 4. Foi extraída uma amostra de 16 elementos desta população e encontrou-se média igual a 10.
(a) Estimar, com
de confiança, a média populacional. Interprete.
(b) Teste a hipótese da média populacional ser igual a 12 , com
de confiança.
(a) Estimar, com
(b) Teste a hipótese da média populacional ser igual a 12 , com
Passo 1
Beleza, então vamos lá! Temos uma população que segue uma distribuição normal com desvio padrão (
) igual a 4. Tiramos uma amostra de 16 elementos dessa população e a média da amostra (
) foi 10. Vamos resolver duas coisas aqui:
(a) Estimar a média da população com 95% de confiança.
(b) Testar a hipótese de que a média populacional é igual a 12, com 90% de confiança.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de intervalo de confiança e teste de hipóteses com a distribuição normal.
(a) Estimar a média da população com 95% de confiança.
(b) Testar a hipótese de que a média populacional é igual a 12, com 90% de confiança.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de intervalo de confiança e teste de hipóteses com a distribuição normal.
Passo 2
Parte (a): Estimar a média populacional com 95% de confiança
Primeiro, queremos encontrar o intervalo dentro do qual a média verdadeira da população (
) provavelmente está, com 95% de confiança.
Passo 3
Sabemos que, para uma distribuição normal, o intervalo de confiança é dado por:
Aqui:
-
é a média da amostra (10). -
é o valor crítico da distribuição normal para 95% de confiança. -
é o desvio padrão da população (4). -
é o tamanho da amostra (16).
Passo 4
Vamos encontrar
para 95% de confiança. Como é 95%,
, então
. Olhando na tabela Z,
.
Passo 5
Agora, calculamos o erro padrão (
):
Passo 6
Aplicando na fórmula do intervalo de confiança:
Então, o intervalo fica entre
e
.
Passo 7
Parte (b): Testar a hipótese de que a média populacional é igual a 12, com 90% de confiança
Aqui, queremos verificar se a média da população realmente é 12 ou não, usando um nível de confiança de 90%.
Passo 8
Primeiro, estabelecemos as hipóteses:
- Hipótese nula (
): - Hipótese alternativa (
):
Passo 9
Vamos calcular o valor do teste Z usando a fórmula:
Onde
.
Passo 10
Substituindo os valores:
Passo 11
Agora, encontramos o valor crítico
para 90% de confiança. Aqui,
, então
. Olhando na tabela Z,
.
Passo 12
Como o teste é bilateral, verificamos se o valor absoluto de Z é maior que 1,645. No nosso caso,
.
Passo 13
Como
, rejeitamos a hipótese nula
. Isso sugere que há evidências suficientes para afirmar que a média populacional não é 12, com 90% de confiança.
Resposta
(a) A média populacional está entre 8,04 e 11,96 com 95% de confiança.
(b) Rejeitamos a hipótese de que a média populacional é igual a 12, com 90% de confiança.