Uma população normal tem desvio padrão igual a 4. Foi extraída uma amostra de 16 elementos desta população e encontrou-se média igual a 10.
(a) Estimar, com 95 % de confiança, a média populacional. Interprete.
(b) Teste a hipótese da média populacional ser igual a 12 , com 90 % de confiança.

Passo 1

Beleza, então vamos lá! Temos uma população que segue uma distribuição normal com desvio padrão ( sigma) igual a 4. Tiramos uma amostra de 16 elementos dessa população e a média da amostra ( barx) foi 10. Vamos resolver duas coisas aqui:
(a) Estimar a média da população com 95% de confiança.
(b) Testar a hipótese de que a média populacional é igual a 12, com 90% de confiança.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de intervalo de confiança e teste de hipóteses com a distribuição normal.

Passo 2

Parte (a): Estimar a média populacional com 95% de confiança

Primeiro, queremos encontrar o intervalo dentro do qual a média verdadeira da população ( mu) provavelmente está, com 95% de confiança.

Passo 3

Sabemos que, para uma distribuição normal, o intervalo de confiança é dado por:
barx pm Zalpha2 times sigmaraizn
Aqui:
  • barx é a média da amostra (10).
  • Zalpha2 é o valor crítico da distribuição normal para 95% de confiança.
  • sigma é o desvio padrão da população (4).
  • n é o tamanho da amostra (16).

Passo 4

Vamos encontrar Zalpha2 para 95% de confiança. Como é 95%, alpha = 1 - 0,95 = 0,05, então alpha2 = 0,025. Olhando na tabela Z, Z0,025 approx 1,96.

Passo 5

Agora, calculamos o erro padrão ( sigmaraizn):
4raiz16 = 44 = 1

Passo 6

Aplicando na fórmula do intervalo de confiança:
10 pm 1,96 times 1 = 10 pm 1,96
Então, o intervalo fica entre 10 - 1,96 = 8,04 e 10 + 1,96 = 11,96.

Passo 7

Parte (b): Testar a hipótese de que a média populacional é igual a 12, com 90% de confiança

Aqui, queremos verificar se a média da população realmente é 12 ou não, usando um nível de confiança de 90%.

Passo 8

Primeiro, estabelecemos as hipóteses:
  • Hipótese nula ( H0): mu = 12
  • Hipótese alternativa ( Ha): mu neq 12

Passo 9

Vamos calcular o valor do teste Z usando a fórmula:
Z = barx - mu0sigmaraizn
Onde mu0 = 12.

Passo 10

Substituindo os valores:
Z = 10 - 124raiz16 = -21 = -2

Passo 11

Agora, encontramos o valor crítico Zalpha2 para 90% de confiança. Aqui, alpha = 0,10, então alpha2 = 0,05. Olhando na tabela Z, Z0,05 approx 1,645.

Passo 12

Como o teste é bilateral, verificamos se o valor absoluto de Z é maior que 1,645. No nosso caso, |-2| = 2 > 1,645.

Passo 13

Como 2 > 1,645, rejeitamos a hipótese nula H0. Isso sugere que há evidências suficientes para afirmar que a média populacional não é 12, com 90% de confiança.

Resposta

(a) A média populacional está entre 8,04 e 11,96 com 95% de confiança.
(b) Rejeitamos a hipótese de que a média populacional é igual a 12, com 90% de confiança.

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