Trinta observações de uma população Normal com média
e variância 36 são coletadas.
(a) Calcule
(b) Determine o valor de a tal que
(a) Calcule
(b) Determine o valor de a tal que
Passo 1
Vamos lá! O enunciado nos pede para trabalhar com uma população que segue uma distribuição Normal, com média
e variância 36. Coletamos 30 observações dessa população. Precisamos resolver dois itens:
a) Calcular
.
b) Determinar o valor de
tal que
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística sobre distribuição amostral da média, principalmente propriedades da distribuição Normal.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que quando coletamos uma amostra de tamanho
de uma população normal, a média amostral
também segue uma distribuição normal com média
e variância
. No nosso caso,
e
, então a variância da média amostral é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o desvio padrão da média amostral, que é a raiz quadrada da variância:
Esse valor nos ajuda a padronizar a distribuição para usar a tabela da distribuição Normal.
Passo 4
Para o item (a), queremos calcular
. Isso é a probabilidade de que a média amostral esteja a no máximo 3 unidades da média populacional.
Podemos padronizar essa expressão usando a variável
, que é a distribuição Normal padrão:
Então:
Passo 5
Calculando os valores dentro da probabilidade:
Então:
Usando a tabela da distribuição Normal, sabemos que
é aproximadamente 0,996 ou 99,6%.
Passo 6
Agora, para o item (b), queremos encontrar o valor de
tal que
. Isso significa que queremos que a probabilidade da média amostral estar a pelo menos
unidades da média populacional seja cerca de 90%.
Passo 7
Primeiro, notamos que:
Isso implica que:
Então, queremos que 10% da distribuição esteja dentro do intervalo
, ou seja, 5% de cada lado.
Passo 8
Usando a variável
, temos:
Consultando a tabela da distribuição Normal, sabemos que o valor de
que corresponde a 5% na cauda inferior é aproximadamente
.
Passo 9
Então, temos:
Resolvendo para
:
Resposta
a)
ou 99,6%.
b) O valor de
é aproximadamente 1,8.