Trinta observações de uma população Normal com média mu e variância 36 são coletadas.
(a) Calcule P(|barX-mu| <= 3)
(b) Determine o valor de a tal que P(|barX-mu| >= a) cong 0,9

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos pede para trabalhar com uma população que segue uma distribuição Normal, com média mu e variância 36. Coletamos 30 observações dessa população. Precisamos resolver dois itens:
a) Calcular P(|barX - mu| <= 3).
b) Determinar o valor de a tal que P(|barX - mu| >= a) approx 0,9.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística sobre distribuição amostral da média, principalmente propriedades da distribuição Normal.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que quando coletamos uma amostra de tamanho n de uma população normal, a média amostral barX também segue uma distribuição normal com média mu e variância sigma^2/n. No nosso caso, sigma^2 = 36 e n = 30, então a variância da média amostral é 36/30 = 1,2.

Passo 3

Agora, vamos calcular o desvio padrão da média amostral, que é a raiz quadrada da variância:
sigmabarX = raiz3630 = raiz1,2 approx 1,095
Esse valor nos ajuda a padronizar a distribuição para usar a tabela da distribuição Normal.

Passo 4

Para o item (a), queremos calcular P(|barX - mu| <= 3). Isso é a probabilidade de que a média amostral esteja a no máximo 3 unidades da média populacional.
Podemos padronizar essa expressão usando a variável Z, que é a distribuição Normal padrão:
Z = barX - musigmabarX
Então:
P(|barX - mu| <= 3) = P(-31,095 <= Z <= 31,095)

Passo 5

Calculando os valores dentro da probabilidade:
31,095 approx 2,74
Então:
P(-2,74 <= Z <= 2,74)
Usando a tabela da distribuição Normal, sabemos que P(-2,74 <= Z <= 2,74) é aproximadamente 0,996 ou 99,6%.

Passo 6

Agora, para o item (b), queremos encontrar o valor de a tal que P(|barX - mu| >= a) approx 0,9. Isso significa que queremos que a probabilidade da média amostral estar a pelo menos a unidades da média populacional seja cerca de 90%.

Passo 7

Primeiro, notamos que:
P(|barX - mu| >= a) = 0,9
Isso implica que:
P(|barX - mu| < a) = 1 - 0,9 = 0,1
Então, queremos que 10% da distribuição esteja dentro do intervalo [-a, a], ou seja, 5% de cada lado.

Passo 8

Usando a variável Z, temos:
P(-a1,095 <= Z <= a1,095) = 0,1
Consultando a tabela da distribuição Normal, sabemos que o valor de Z que corresponde a 5% na cauda inferior é aproximadamente -1,645.

Passo 9

Então, temos:
a1,095 = 1,645
Resolvendo para a:
a = 1,645 times 1,095 approx 1,8

Resposta

a) P(|barX - mu| <= 3) approx 0,996 ou 99,6%.
b) O valor de a é aproximadamente 1,8.

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