Antes de uma eleição, um determinado partido está interessado em estimar a probabilidade de eleitores favoráveis ao seu candidato em um município de 30000 habitantes. Uma amostra inicial de 30 pessoas revelou 18 a favor.
(23.1) Usando a informação da amostra inicial, dimensione uma amostra com grau de confiança de 0,98 e erro máximo de estimação de 0,05 .
(23.2) Se na amostra que foi calculada em (23.1) obteve-se 0,25 favoráveis ao candidato, faça intervalo de confiança de 0,98 para a proporção.

Passo 1

Temos uma população finita de N=30000 eleitores e uma amostra piloto de tamanho 30 com 18 favoráveis, de onde obtemos a estimativa inicial de proporção
\hat p_0 = \frac{18}{30} = 0{,}6.
Queremos projetar o tamanho da amostra n para um nível de confiança 98\% e erro máximo de estimativa E=0{,}05. Usamos a aproximação normal para proporções e, por se tratar de população finita, aplicamos a correção de população finita.

Passo 2

O valor crítico para 98\% de confiança é
z_{1-\alpha/2} = z_{0,99} \approx 2{,}3263.
A variância amostral estimada é \hat p_0(1-\hat p_0)=0{,}6\cdot0{,}4=0{,}24. O tamanho n satisfaz
n = \frac{z^2\,\hat p_0(1-\hat p_0)\,N}{E^2\,(N-1) + z^2\,\hat p_0(1-\hat p_0)}.
Substituindo os valores,
z^2\hat p_0(1-\hat p_0)=2{,}3263^2\cdot0{,}24\approx1{,}2988, \quad E^2(N-1)=0{,}0025\cdot29999\approx74{,}9975,
n\approx\frac{1{,}2988\cdot30000}{74{,}9975+1{,}2988}\approx\frac{38964}{76{,}2963}\approx510{,}9.
Arredondando para cima, obtemos
n \approx 511.

Passo 3

Na amostra de tamanho n=511 obteve-se \hat p=0{,}25. Queremos o intervalo de confiança de 98\%. A variância ajustada é
\widehat{\mathrm{Var}}(\hat p)=\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}\,\frac{N-n}{N-1} =\frac{0{,}25\cdot0{,}75}{511}\cdot\frac{30000-511}{29999} \approx0{,}0003607,
logo o desvio padrão amostral é \sqrt{0{,}0003607}\approx0{,}01899. O erro padrão multiplicado por z é
\mathrm{ME}=z_{0,99}\times0{,}01899\approx2{,}3263\times0{,}01899\approx0{,}0442.
Portanto, o intervalo de confiança é
\hat p \pm \mathrm{ME} \quad\Longrightarrow\quad 0{,}25 \pm 0{,}0442 \quad\Longrightarrow\quad [\,0{,}2058,\;0{,}2942\,].

Resposta

(23.1) n\approx511.
(23.2) Intervalo de confiança de 98\%: [0{,}206,\;0{,}294].

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