Seja X com distribuição normal. Sabe-se que \quad P(X<25)=0,82 \quad e \quad P(X>20)=0,70 \quad.
(19.1) Qual é a esperança de X ?
(19.2) Qual é o desvio padrão de X ?
Passo 1
O enunciado diz que X é normal com média \mu e desvio padrão \sigma desconhecidos, e fornece duas probabilidades:
P(X<25)=0,82 \quad\text{e}\quad P(X>20)=0,70.
Para encontrar \mu e \sigma vamos usar a padronização de X em termos de Z\sim N(0,1).
Passo 2
Convertendo P(X<25)=0,82 em termos de Z, temos
P\bigl(Z<\frac{25-\mu}{\sigma}\bigr)=0,82.
Chamando z_1=(25-\mu)/\sigma, procuramos na tabela de normal padrão o valor tal que \Phi(z_1)=0,82. Isso dá aproximadamente
z_1\approx0,915.
Logo,
25-\mu=0,915\,\sigma.
Passo 3
Para P(X>20)=0,70 escrevemos P(X\le20)=0,30, isto é