Seja X com distribuição normal. Sabe-se que \quad P(X<25)=0,82 \quad e \quad P(X>20)=0,70 \quad.
(19.1) Qual é a esperança de X ?
(19.2) Qual é o desvio padrão de X ?

Passo 1

O enunciado diz que X é normal com média \mu e desvio padrão \sigma desconhecidos, e fornece duas probabilidades:
P(X<25)=0,82 \quad\text{e}\quad P(X>20)=0,70.
Para encontrar \mu e \sigma vamos usar a padronização de X em termos de Z\sim N(0,1).

Passo 2

Convertendo P(X<25)=0,82 em termos de Z, temos
P\bigl(Z<\frac{25-\mu}{\sigma}\bigr)=0,82.
Chamando z_1=(25-\mu)/\sigma, procuramos na tabela de normal padrão o valor tal que \Phi(z_1)=0,82. Isso dá aproximadamente
z_1\approx0,915.
Logo,
25-\mu=0,915\,\sigma.

Passo 3

Para P(X>20)=0,70 escrevemos P(X\le20)=0,30, isto é
P\bigl(Z<\frac{20-\mu}{\sigma}\bigr)=0,30.
Chamando z_2=(20-\mu)/\sigma, da tabela obtemos
z_2\approx-0,524.
Logo,
20-\mu=-0,524\,\sigma.

Passo 4

Agora temos o sistema
\begin{cases} 25-\mu=0,915\,\sigma,\\\\ 20-\mu=-0,524\,\sigma. \end{cases}
Subtraindo a segunda equação da primeira:
5=(0,915+0,524)\,\sigma=1,439\,\sigma \quad\Longrightarrow\quad \sigma=\frac{5}{1,439}\approx3,47.
Substituindo em 25-\mu=0,915\,\sigma:
\mu=25-0,915\cdot3,47\approx21,82.

Resposta

\mu\approx21,82 \sigma\approx3,47

Exercícios relacionados