Antes de uma eleição, um determinado partido está interessado em estimar a proporção de eleitores favoráveis ao seu candidato. Uma amostra piloto de tamanho 100 revelou que
dos eleitores eram favoráveis ao candidato em questão. Construa um intervalo de
de confiança para a proporção real de eleitores que irão votar no candidato em questão. (Construa o otimista e o conservativo). Interprete.
Passo 1
Tranquilo, vamos lá! O enunciado diz que numa amostra de 100 eleitores, 60% eram favoráveis ao candidato. A questão é construir um intervalo de confiança de 98% para a proporção real, de duas formas:
- “otimista”: usando a própria proporção observada;
- “conservadora”: usando o pior caso
.
Conteúdo envolvido: intervalo de confiança para proporção, valor crítico da normal e cálculo do erro‐padrão.
Passo 2
Primeiro a gente precisa do valor crítico
para nível de 98%.
- O nível é
e . - Da tabela da normal padrão,
.
Passo 3
Intervalo “otimista” (uso $ \hat p=0{,}60$):
- Erro‐padrão:
- Margem de erro:
$$E = z_{\alpha/2},\mathrm{SE}
=2.326\times0.0490\approx0.1140.
\hat p\pm E = 0.60\pm0.114
;\longrightarrow;
[0.486,;0.714].$$
Passo 4
Intervalo “conservador” (uso
):
- Erro‐padrão:
$$\mathrm{SE}_{\max}=\sqrt{\frac{0.5\cdot0.5}{100}}
=\sqrt{0.0025}=0.05.
E_{\max}=2.326\times0.05\approx0.1163.$$
- Intervalo:
Passo 5
Interpretação (bateu aquele frio na barriga? relaxa):
Com 98% de confiança, se a gente repetisse essa pesquisa várias vezes, cerca de 98% dos intervalos construídos conteriam a verdadeira proporção de eleitores favoráveis.
Com 98% de confiança, se a gente repetisse essa pesquisa várias vezes, cerca de 98% dos intervalos construídos conteriam a verdadeira proporção de eleitores favoráveis.
- No caso otimista (usando 0,6), dizemos que essa proporção está entre 48,6% e 71,4%.
- No conservador (pior caso), entre 48,37% e 71,63%.
Resposta
Intervalo de confiança de 98%:
- Otimista:
- Conservador: