Antes de uma eleição, um determinado partido está interessado em estimar a proporção de eleitores favoráveis ao seu candidato. Uma amostra piloto de tamanho 100 revelou que 60 % dos eleitores eram favoráveis ao candidato em questão. Construa um intervalo de 98 % de confiança para a proporção real de eleitores que irão votar no candidato em questão. (Construa o otimista e o conservativo). Interprete.

Passo 1

Tranquilo, vamos lá! O enunciado diz que numa amostra de 100 eleitores, 60% eram favoráveis ao candidato. A questão é construir um intervalo de confiança de 98% para a proporção real, de duas formas:
  • “otimista”: usando a própria proporção observada;
  • “conservadora”: usando o pior caso p=0,5.
Conteúdo envolvido: intervalo de confiança para proporção, valor crítico da normal e cálculo do erro‐padrão.

Passo 2

Primeiro a gente precisa do valor crítico zalpha/2 para nível de 98%.
  • O nível é 1-alpha=0,98implies alpha=0,02 e alpha/2=0,01.
  • Da tabela da normal padrão, z0,01approx 2,326.

Passo 3

Intervalo “otimista” (uso $ \hat p=0{,}60$):
  1. Erro‐padrão:
hat p=0,60
  1. Margem de erro:
$$E = z_{\alpha/2},\mathrm{SE}
=2.326\times0.0490\approx0.1140. SE=raizhat p(1-hat p)n =raiz0.6cdot0.4100 =raiz0.0024approx0.0490\hat p\pm E = 0.60\pm0.114
;\longrightarrow;
[0.486,;0.714].$$

Passo 4

Intervalo “conservador” (uso p=0,5):
  1. Erro‐padrão:
$$\mathrm{SE}_{\max}=\sqrt{\frac{0.5\cdot0.5}{100}}
=\sqrt{0.0025}=0.05. SEmax=raiz0.5cdot0.5100 =raiz0.0025=0.05E_{\max}=2.326\times0.05\approx0.1163.$$
  1. Intervalo:
Emax=2.326times0.05approx0.1163

Passo 5

Interpretação (bateu aquele frio na barriga? relaxa):
Com 98% de confiança, se a gente repetisse essa pesquisa várias vezes, cerca de 98% dos intervalos construídos conteriam a verdadeira proporção de eleitores favoráveis.
  • No caso otimista (usando 0,6), dizemos que essa proporção está entre 48,6% e 71,4%.
  • No conservador (pior caso), entre 48,37% e 71,63%.

Resposta

Intervalo de confiança de 98%:
  • Otimista: [0,486,;0,714]
  • Conservador: [0,4837,;0,7163]

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