Antes de uma eleição, um determinado partido está interessado em estimar a proporção
de eleitores favoráveis ao seu candidato. Uma amostra piloto de tamanho 100 revelou que
dos eleitores eram favoráveis ao candidato em questão.
(a) Com base na amostra piloto, determine o tamanho da amostra necessário para que o erro cometido na estimação intervalar seja de, no máximo, 0.01 , com probabilidade de
.
(b) Explique brevemente para que é necessário uma amostra piloto e como deveríamos proceder na ausência de uma tal amostra.
(c) Se na amostra final, com tamanho igual ao obtido no item (a), observou-se que
dos eleitores eram favoráveis ao candidato em questão, construa um intervalo de confiança para a verdadeira proporção
, com nível de confiança de
.
(a) Com base na amostra piloto, determine o tamanho da amostra necessário para que o erro cometido na estimação intervalar seja de, no máximo, 0.01 , com probabilidade de
(b) Explique brevemente para que é necessário uma amostra piloto e como deveríamos proceder na ausência de uma tal amostra.
(c) Se na amostra final, com tamanho igual ao obtido no item (a), observou-se que
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver nada ainda).
Dados fornecidos:
- Amostra piloto: tamanho
e proporção observada . Ou seja, a estimativa piloto é . - No item (a) pede o tamanho da amostra necessário para que o erro da estimação intervalar seja, no máximo,
, com probabilidade de . - No item (b) pede uma explicação sobre a utilidade da amostra piloto e o que fazer na falta dela.
- No item (c) diz que, na amostra final (com tamanho igual ao obtido no item (a)), observou-se proporção
. Pede a construção de um intervalo de confiança para com nível de confiança .
O que precisamos entregar:
(a) o valor de que garante margem de erro
com "probabilidade de
" (interpreto isso como usar nível de confiança
para o intervalo, ou seja, ou equivalente probabilístico pela aproximação normal);
(b) explicação do papel da amostra piloto e o procedimento se não houver piloto;
(c) o intervalo de confiança de para
usando
e
do item (a).
(a) o valor de
(b) explicação do papel da amostra piloto e o procedimento se não houver piloto;
(c) o intervalo de confiança de
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar para decidir o tamanho da amostra (aula curta e concreta).
- Quando estimamos uma proporção
por a partir de uma amostra aleatória grande, pela aproximação pelo Teorema Central do Limite (e pela aproximação binomial por normal), tem-se aproximadamente
Aqui:
-
é a proporção amostral (variável aleatória), -
é a verdadeira proporção desconhecida, -
é o tamanho da amostra, -
é a variância aproximada de , -
desvio padrão de
é . -
Um intervalo de confiança simétrico centrado em
e com nível de confiança tem metade do comprimento (margem de erro) igual a
onde
é o quantil da normal padrão. Ex.: para
usa-se
. Para
usa-se
(pois
), que numericamente é aproximadamente
.
- Para fixar uma margem de erro
desejada e obter , isolamos :
Observações importantes:
- Usamos
da amostra piloto para substituir porque é desconhecido. - Sempre arredondamos
para cima (para garantir o erro máximo desejado).
Passo 3
Aplicando a fórmula ao item (a) com os números do enunciado.
-
Queremos
e "probabilidade de " → interpretar como intervalo com nível de confiança . Então e . O quantil é . -
A amostra piloto deu
. Logo .
Usando a fórmula:
Agora coloco os números passo a passo (cada fórmula isolada em bloco):
Passo 4
Interpretação do resultado numérico e arredondamento (prática de prova).
- O cálculo deu
. Como precisa ser inteiro e queremos garantir que a margem de erro seja, no máximo, , arredondamos para cima:
- Observação prática: em amostragem de proporção é comum ignorar correção para população finita a menos que a população total seja pequena comparada à amostra. Aqui não foi mencionada população finita, então
é apropriado.
Passo 5
Resposta e conselho alternativo quando não há amostra piloto (item b).
-
Para que serve a amostra piloto?
- A amostra piloto fornece uma estimativa inicial
de . Essa estimativa entra na fórmula de através do termo . Como varia com , a escolha de altera o necessário. A piloto evita subestimar ou superestimar demais o tamanho da amostra necessário. - Além disso, a piloto ajuda a verificar procedimentos de coleta, taxa de resposta, viés, e permite corrigir aspectos práticos antes da amostra grande.
- A amostra piloto fornece uma estimativa inicial
-
E se não tivermos amostra piloto?
- O procedimento conservador é usar
, porque a função atinge seu máximo em e assim garante o maior necessário independente de . Isso dá uma amostra suficientemente grande para qualquer . - Vamos calcular rapidamente o
conservador (sem piloto), para o mesmo e confiança :
- O procedimento conservador é usar
Arredondando para cima:
- Assim, sem piloto usa-se
para garantir a margem de erro desejada independentemente de .
Passo 6
Construção do intervalo de confiança de
usando os dados da amostra final (item c). Vou explicar a fórmula e calcular passo a passo.
- Fórmula do intervalo de confiança para proporção (aproximação normal, grande
):
Onde:
-
é a proporção observada na amostra final, -
é o tamanho da amostra (usaremos do item (a)), -
para
de confiança, . -
Dados do problema para o item (c):
-
, -
, -
.
-
Calcule o erro padrão e a margem de erro:
Agora o valor numérico (cada passo em bloco):
- Portanto o intervalo de
é:
Calculando os limites:
- Em forma arredondada (3 casas decimais) o intervalo fica
. Se preferir com 4 casas: .
Passo 7
Comentários finais rápidos e incentivo (prática para a prova).
- Resumo processual que você deve aplicar na prova:
- Para achar
use a fórmula . Pegue associado ao nível de confiança desejado (aqui → ). - Se não tiver piloto use
(caso conservador). - Para IC de proporção use
com do nível de confiança pedido (95% → ).
- Para achar
- Você mandou bem vindo até aqui — prática repetida desses passos deixa tudo automático na hora da prova.
Resposta
(a)
.
(b) A amostra piloto fornece uma estimativa inicial
para usar em
; sem piloto usa-se o valor conservador
, que aqui daria
.
(c) Intervalo de confiança de
:
(aprox.; arredondando a três casas:
).