Antes de uma eleição, um determinado partido está interessado em estimar a proporção p de eleitores favoráveis ao seu candidato. Uma amostra piloto de tamanho 100 revelou que 60 \% dos eleitores eram favoráveis ao candidato em questão.
(a) Com base na amostra piloto, determine o tamanho da amostra necessário para que o erro cometido na estimação intervalar seja de, no máximo, 0.01 , com probabilidade de 80 \%.
(b) Explique brevemente para que é necessário uma amostra piloto e como deveríamos proceder na ausência de uma tal amostra.
(c) Se na amostra final, com tamanho igual ao obtido no item (a), observou-se que 55 \% dos eleitores eram favoráveis ao candidato em questão, construa um intervalo de confiança para a verdadeira proporção p, com nível de confiança de 95 \%.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver nada ainda).
Dados fornecidos:
  • Amostra piloto: tamanho 100 e proporção observada 60\%. Ou seja, a estimativa piloto é \hat p_{\text{piloto}}=0,60.
  • No item (a) pede o tamanho da amostra necessário para que o erro da estimação intervalar seja, no máximo, 0,01, com probabilidade de 80\%.
  • No item (b) pede uma explicação sobre a utilidade da amostra piloto e o que fazer na falta dela.
  • No item (c) diz que, na amostra final (com tamanho igual ao obtido no item (a)), observou-se proporção 55\%. Pede a construção de um intervalo de confiança para p com nível de confiança 95\%.
O que precisamos entregar:
(a) o valor de n que garante margem de erro \le 0,01 com "probabilidade de 80\%" (interpreto isso como usar nível de confiança 80\% para o intervalo, ou seja, ou equivalente probabilístico pela aproximação normal);
(b) explicação do papel da amostra piloto e o procedimento se não houver piloto;
(c) o intervalo de confiança de 95\% para p usando \hat p_{\text{final}}=0,55 e n do item (a).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar para decidir o tamanho da amostra (aula curta e concreta).
  • Quando estimamos uma proporção p por \hat p a partir de uma amostra aleatória grande, pela aproximação pelo Teorema Central do Limite (e pela aproximação binomial por normal), tem-se aproximadamente
\hat p \sim \text{aprox } N\!\left(p,\; \frac{p(1-p)}{n}\right).
Aqui:
  • \hat p é a proporção amostral (variável aleatória),
  • p é a verdadeira proporção desconhecida,
  • n é o tamanho da amostra,
  • \dfrac{p(1-p)}{n} é a variância aproximada de \hat p,
  • desvio padrão de \hat p é \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}.
  • Um intervalo de confiança simétrico centrado em \hat p e com nível de confiança 1-\alpha tem metade do comprimento (margem de erro) igual a
E = z_{1-\alpha/2}\,\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}},
onde z_{1-\alpha/2} é o quantil da normal padrão. Ex.: para 95\% usa-se z_{0,975}=1{,}96. Para 80\% usa-se z_{0,90} (pois 1-\alpha/2=0{,}90), que numericamente é aproximadamente 1{,}2816.
  • Para fixar uma margem de erro E desejada e obter n, isolamos n:
n = \frac{z_{1-\alpha/2}^{2}\,\hat p(1-\hat p)}{E^{2}}.
Observações importantes:
  • Usamos \hat p da amostra piloto para substituir p porque p é desconhecido.
  • Sempre arredondamos n para cima (para garantir o erro máximo desejado).

Passo 3

Aplicando a fórmula ao item (a) com os números do enunciado.
  • Queremos E=0{,}01 e "probabilidade de 80\%" → interpretar como intervalo com nível de confiança 80\%. Então 1-\alpha=0{,}80 e 1-\alpha/2=0{,}90. O quantil é z_{0,90}\approx 1{,}2816.
  • A amostra piloto deu \hat p_{\text{piloto}}=0{,}60. Logo \hat p(1-\hat p)=0{,}60\cdot 0{,}40=0{,}24.
Usando a fórmula:
n = \frac{z_{0,90}^{2}\,\hat p(1-\hat p)}{E^{2}}.
Agora coloco os números passo a passo (cada fórmula isolada em bloco):
z_{0,90}\approx 1{,}2816.
z_{0,90}^{2}\approx 1{,}2816^{2}=1{,}64249856\\ (\text{aprox.}).
\hat p(1-\hat p)=0{,}60\cdot 0{,}40=0{,}24.
E^{2}=(0{,}01)^{2}=0{,}0001.
n \approx \frac{1{,}64249856\cdot 0{,}24}{0{,}0001} = \frac{0{,}3941996544}{0{,}0001} = 3941{,}996544.

Passo 4

Interpretação do resultado numérico e arredondamento (prática de prova).
  • O cálculo deu n\approx 3941{,}996544. Como n precisa ser inteiro e queremos garantir que a margem de erro seja, no máximo, 0{,}01, arredondamos para cima:
n=3942.
  • Observação prática: em amostragem de proporção é comum ignorar correção para população finita a menos que a população total seja pequena comparada à amostra. Aqui não foi mencionada população finita, então n=3942 é apropriado.

Passo 5

Resposta e conselho alternativo quando não há amostra piloto (item b).
  • Para que serve a amostra piloto?
    • A amostra piloto fornece uma estimativa inicial \hat p de p. Essa estimativa entra na fórmula de n através do termo \hat p(1-\hat p). Como p(1-p) varia com p, a escolha de \hat p altera o n necessário. A piloto evita subestimar ou superestimar demais o tamanho da amostra necessário.
    • Além disso, a piloto ajuda a verificar procedimentos de coleta, taxa de resposta, viés, e permite corrigir aspectos práticos antes da amostra grande.
  • E se não tivermos amostra piloto?
    • O procedimento conservador é usar \hat p=0{,}5, porque a função p(1-p) atinge seu máximo em p=0{,}5 e assim garante o maior n necessário independente de p. Isso dá uma amostra suficientemente grande para qualquer p.
    • Vamos calcular rapidamente o n conservador (sem piloto), para o mesmo E=0{,}01 e confiança 80\%:
\hat p(1-\hat p)=0{,}5\cdot 0{,}5=0{,}25.
n_{\text{conserv}} \approx \frac{1{,}64249856\cdot 0{,}25}{0{,}0001} = \frac{0{,}41062464}{0{,}0001} =4106{,}2464.
Arredondando para cima:
n_{\text{conserv}}=4107.
  • Assim, sem piloto usa-se n=4107 para garantir a margem de erro desejada independentemente de p.

Passo 6

Construção do intervalo de confiança de 95\% usando os dados da amostra final (item c). Vou explicar a fórmula e calcular passo a passo.
  • Fórmula do intervalo de confiança para proporção (aproximação normal, grande n):
\text{IC}_{1-\alpha}:\quad \hat p \pm z_{1-\alpha/2}\,\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}.
Onde:
  • \hat p é a proporção observada na amostra final,
  • n é o tamanho da amostra (usaremos n=3942 do item (a)),
  • para 95\% de confiança, z_{0,975}=1{,}96.
  • Dados do problema para o item (c):
    • \hat p_{\text{final}}=0{,}55,
    • n=3942,
    • z_{0,975}=1{,}96.
Calcule o erro padrão e a margem de erro:
\hat p(1-\hat p)=0{,}55\cdot 0{,}45=0{,}2475.
\text{erro padrão } = \sqrt{\frac{0{,}2475}{3942}}.ã
Agora o valor numérico (cada passo em bloco):
\frac{0{,}2475}{3942}\approx 0{,}00006278\\ (\text{aprox.}).
\sqrt{0{,}00006278}\approx 0{,}0079236.
\text{margem de erro } = 1{,}96\times 0{,}0079236\approx 0{,}0155283.
  • Portanto o intervalo de 95\% é:
\hat p \pm \text{margem} = 0{,}55 \pm 0{,}0155283.
Calculando os limites:
\text{limite inferior } = 0{,}55 - 0{,}0155283 \approx 0{,}5344717,
\text{limite superior } = 0{,}55 + 0{,}0155283 \approx 0{,}5655283.
  • Em forma arredondada (3 casas decimais) o intervalo fica (0{,}534,\;0{,}566). Se preferir com 4 casas: (0{,}5345,\;0{,}5655).

Passo 7

Comentários finais rápidos e incentivo (prática para a prova).
  • Resumo processual que você deve aplicar na prova:
    1. Para achar n use a fórmula n=\dfrac{z^{2}\hat p(1-\hat p)}{E^{2}}. Pegue z associado ao nível de confiança desejado (aqui 80\% z_{0,90}\approx 1{,}2816).
    2. Se não tiver piloto use \hat p=0{,}5 (caso conservador).
    3. Para IC de proporção use \hat p\pm z\sqrt{\hat p(1-\hat p)/n} com z do nível de confiança pedido (95% → 1{,}96).
  • Você mandou bem vindo até aqui — prática repetida desses passos deixa tudo automático na hora da prova.

Resposta

(a) n=3942.
(b) A amostra piloto fornece uma estimativa inicial \hat p para usar em \;n=\dfrac{z^{2}\hat p(1-\hat p)}{E^{2}}; sem piloto usa-se o valor conservador \hat p=0{,}5, que aqui daria n_{\text{conserv}}=4107.
(c) Intervalo de confiança de 95\%: \;(0{,}534472,\;0{,}565528) (aprox.; arredondando a três casas: (0{,}534,\;0{,}566)).

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