Para uma distribuição t de Student com 12 graus de liberdade, encontre a probabilidade (área) de cada uma das seguintes regiões (esboce um gráfico para auxiliar na solução do exercício):
(c) à direita de 2,681 ;

Passo 1

O enunciado dá uma distribuição t de Student com 12 graus de liberdade e pede a probabilidade (área) da região à direita de 2,681.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A variável aleatória segue uma distribuição t de Student com \nu=12 graus de liberdade.
  • Queremos P(T>2,681), ou seja, a área da cauda direita além de 2,681.
  • É pedido também um esboço mental do gráfico para auxiliar (uma curva em forma de sino mais “gordinha” nas caudas que a normal; marcar o ponto 2,681 e sombrear a área à direita).

Passo 2

O que é a distribuição t de Student e o que significa pedir a área à direita de um valor?
  • A distribuição t de Student é uma família de distribuições simétricas em torno de zero, parecidas com a normal, mas com caudas mais pesadas quando os graus de liberdade \nu são pequenos. À medida que \nu cresce, a t aproxima-se da normal padrão.
  • Pedir P(T>t_0) significa calcular a probabilidade de que a variável T exceda o valor t_0. Graficamente é a área sob a curva t à direita do ponto t_0.
  • Uma propriedade importante (que ajuda muito na prova): a t é simétrica, então P(T>t_0)=P(T<-t_0).

Passo 3

Como normalmente se faz esse cálculo na prática (tabelas e interpretação):
  • Em provas e exercícios sem calculadora, costuma-se usar a tabela da t de Student. Essa tabela normalmente dá valores críticos t_{\alpha,\nu} tal que
P(T>t_{\alpha,\nu})=\alpha,
ou dá a área central correspondente; é preciso saber qual formato a tabela usa. A forma mais comum em tabelas elementares é listar, para cada \nu, valores de t correspondentes a níveis de cauda superiores \alpha (por exemplo \alpha=0,10,\;0,05,\;0,02,\;0,01, etc.).
  • Então, para calcular P(T>t_0) com tabela, procura-se na linha \nu=12 o valor t que seja igual a t_0. A coluna associada a esse t diz qual é \alpha, ou seja, a probabilidade da cauda direita.

Passo 4

Aplicando no caso concreto: olhar a tabela para \nu=12
  • Na linha com \nu=12 (graus de liberdade 12), a tabela padrão fornece o valor t associado à cauda superior \alpha=0,01 igual a 2,681. Ou seja, a tabela dá
t_{0,01,\,12}=2,681,
o que, por definição da tabela, significa
P(T>2,681)=0,01.
  • Portanto, ao ver t_0=2,681 e sabendo que na linha \nu=12 esse t corresponde a \alpha=0,01, concluímos que a área à direita é 0,01.

Passo 5

Verificação e comentário (como interpretar o resultado na prova)
  • A interpretação prática: se num teste t com \nu=12 o valor do estatístico fosse 2,681, o p-valor unilateral (direita) seria 0,01; o p-valor bilateral seria 2\cdot0,01=0,02.
  • Se não houver tabela à mão e for permitido usar calculadora/software, pode-se calcular P(T>2,681) usando uma função de distribuição t (por exemplo em R: 1-pt(2.681,12)) e obter o mesmo valor aproximado 0,01. Mas em provas manuais, a tabela é o caminho esperável.

Passo 6

Esboço do gráfico (descrição para desenhar rápido na prova)
  • Desenhe um eixo horizontal com zero no meio. Faça uma curva em forma de sino, um pouco mais “gorda” nas caudas que a normal.
  • Marque o ponto 2,681 à direita do zero e sombreie a região à direita desse ponto. Essa região sombreada representa P(T>2,681). Pelo que encontramos, a área sombreada é pequena: 0,01 (ou seja, 1\% da área total).

Resposta

P(T>2,681)=0,01

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