Para uma distribuição
de Student com 12 graus de liberdade, encontre a probabilidade (área) de cada uma das seguintes regiões (esboce um gráfico para auxiliar na solução do exercício):
(c) à direita de 2,681 ;
(c) à direita de 2,681 ;
Passo 1
O enunciado dá uma distribuição
de Student com
graus de liberdade e pede a probabilidade (área) da região à direita de
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A variável aleatória segue uma distribuição
de Student com graus de liberdade. - Queremos
, ou seja, a área da cauda direita além de . - É pedido também um esboço mental do gráfico para auxiliar (uma curva em forma de sino mais “gordinha” nas caudas que a normal; marcar o ponto
e sombrear a área à direita).
Passo 2
O que é a distribuição
de Student e o que significa pedir a área à direita de um valor?
- A distribuição
de Student é uma família de distribuições simétricas em torno de zero, parecidas com a normal, mas com caudas mais pesadas quando os graus de liberdade são pequenos. À medida que cresce, a aproxima-se da normal padrão. - Pedir
significa calcular a probabilidade de que a variável exceda o valor . Graficamente é a área sob a curva à direita do ponto . - Uma propriedade importante (que ajuda muito na prova): a
é simétrica, então .
Passo 3
Como normalmente se faz esse cálculo na prática (tabelas e interpretação):
- Em provas e exercícios sem calculadora, costuma-se usar a tabela da
de Student. Essa tabela normalmente dá valores críticos tal que
ou dá a área central correspondente; é preciso saber qual formato a tabela usa. A forma mais comum em tabelas elementares é listar, para cada
, valores de
correspondentes a níveis de cauda superiores
(por exemplo
, etc.).
- Então, para calcular
com tabela, procura-se na linha o valor que seja igual a . A coluna associada a esse diz qual é , ou seja, a probabilidade da cauda direita.
Passo 4
Aplicando no caso concreto: olhar a tabela para
- Na linha com
(graus de liberdade ), a tabela padrão fornece o valor associado à cauda superior igual a . Ou seja, a tabela dá
o que, por definição da tabela, significa
- Portanto, ao ver
e sabendo que na linha esse corresponde a , concluímos que a área à direita é .
Passo 5
Verificação e comentário (como interpretar o resultado na prova)
- A interpretação prática: se num teste t com
o valor do estatístico fosse , o p-valor unilateral (direita) seria ; o p-valor bilateral seria . - Se não houver tabela à mão e for permitido usar calculadora/software, pode-se calcular
usando uma função de distribuição t (por exemplo em R: 1-pt(2.681,12)) e obter o mesmo valor aproximado . Mas em provas manuais, a tabela é o caminho esperável.
Passo 6
Esboço do gráfico (descrição para desenhar rápido na prova)
- Desenhe um eixo horizontal com zero no meio. Faça uma curva em forma de sino, um pouco mais “gorda” nas caudas que a normal.
- Marque o ponto
à direita do zero e sombreie a região à direita desse ponto. Essa região sombreada representa . Pelo que encontramos, a área sombreada é pequena: (ou seja, da área total).