Os antidepressivos estão sendo muito utilizados na atualidade. São medicamentos que agem no sistema nervoso central e só podem ser utilizados sob rigorosa vigilância médica, devido a sua ação fisiológica cerebral. Dentre eles, está o Prozac, que contém cloridrato de fluoxetina, um inibidor seletivo da recaptação de serotonina, que deve ser administrado por via oral. Ao tomar uma dose de 80 mg desse medicamento, em 24 horas somente
da droga permanece no organismo e, consequentemente, o modelo matemático
descreve a quantidade,
, em miligramas, do medicamento no organismo em função do tempo t, em dias. Sabendo que a meia vida corresponde ao tempo para que uma grandeza atinja metade de seu valor inicial, calcule o tempo de meia vida do Prozac no organismo, após ingeridos 80 mg .
Passo 1
O enunciado apresenta um decaimento exponencial da quantidade de fluoxetina no organismo dado pelo modelo Q(t)=80·(0,75)^t, onde t está em dias. O conteúdo aqui é função exponencial de decaimento e vamos precisar usar o conceito de meia‐vida e propriedades de logaritmos para encontrar o tempo em que Q(t) fica em metade do valor inicial.
Passo 2
A meia‐vida t_{1/2} é definida pela condição Q(t_{1/2}) = 80/2 = 40 mg. Então montamos a equação:
Dividindo ambos os lados por 80, obtemos (0,75)^t = 0,5. Para isolar t, aplicamos logaritmo natural em cada lado, pois a incógnita está no expoente.
Passo 3
Isolando t, temos a fórmula da meia‐vida:
Passo 4
Agora, calculando numericamente usando
e
:
Resposta
A meia‐vida do Prozac no organismo, após a ingestão de 80 mg, é de aproximadamente 2,41 dias.