(EEAr - 2001) O valor máximo definida em R por f(x)=m x^2+6 x+m, m in R^* é igual a 8. Então o valor de m é
a) 9
b) 8
c) -1
d) -3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de função quadrática, que é quando a equação tem um x². A questão fala sobre encontrar o valor máximo dessa função. Para resolver, a gente precisa saber como encontrar o ponto mais alto de uma parábola (que é o gráfico de uma função quadrática) e usar isso para achar o valor de $ m $.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que a gente tem: $ f(x) = m x^{2} + 6 x + m $. Como é uma função quadrática, seu gráfico é uma parábola. O coeficiente de $ x^{2} $ é $ m $. Se $ m $ for positivo, a parábola abre pra cima e tem um ponto mais baixo (mínimo). Se $ m $ for negativo, ela abre pra baixo e tem um ponto mais alto (máximo). Aqui, a questão fala do valor máximo, então sabemos que $ m $ precisa ser negativo.

Passo 3

Agora, vamos lembrar como achar o ponto de máximo de uma função quadrática. A coordenada $ x $ do vértice (ponto mais alto ou mais baixo) é dada por:
x
Onde $ a $ é o coeficiente de $ x^{2} $ e $ b $ o de $ x $. Na nossa função, $ a = m $ e $ b = 6 $, então:
xv = -b2a

Passo 4

Agora que temos o $ x $ do vértice, vamos encontrar o valor máximo da função, que é $ f(x_v) $. Substituindo $ x_v $ na função:
x
Simplificando:
f(xv)

Passo 5

A gente sabe que o valor máximo é 8, então:
-9m + m = 8
Multiplicando tudo por $ m $ para tirar o denominador:
m
Rearranjando para formar uma equação quadrática:
-9 + m^2 = 8m

Passo 6

Vamos resolver a equação quadrática $ m^{2} - 8m - 9 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
m^2 - 8m - 9 = 0
Aqui, $ a = 1 $, $ b = -8 $ e $ c = -9 $. Calculando o discriminante:
m = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Então:
a = 1
Isso dá duas soluções:
b = -8
c = -9
Mas lembrando que $ m $ precisa ser negativo para que a parábola abra para baixo, então descartamos $ m = 9 $.

Resposta

O valor de $ m $ é -1.

Exercícios relacionados