(EEAr - 2001) O valor máximo definida em
por
é igual a 8. Então o valor de m é
a) 9
b) 8
c) -1
d) -3
a) 9
b) 8
c) -1
d) -3
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de função quadrática, que é quando a equação tem um x². A questão fala sobre encontrar o valor máximo dessa função. Para resolver, a gente precisa saber como encontrar o ponto mais alto de uma parábola (que é o gráfico de uma função quadrática) e usar isso para achar o valor de $ m $.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que a gente tem: $ f(x) = m x^{2} + 6 x + m $. Como é uma função quadrática, seu gráfico é uma parábola. O coeficiente de $ x^{2} $ é $ m $. Se $ m $ for positivo, a parábola abre pra cima e tem um ponto mais baixo (mínimo). Se $ m $ for negativo, ela abre pra baixo e tem um ponto mais alto (máximo). Aqui, a questão fala do valor máximo, então sabemos que $ m $ precisa ser negativo.
Passo 3
Agora, vamos lembrar como achar o ponto de máximo de uma função quadrática. A coordenada $ x $ do vértice (ponto mais alto ou mais baixo) é dada por:
Onde $ a $ é o coeficiente de $ x^{2} $ e $ b $ o de $ x $. Na nossa função, $ a = m $ e $ b = 6 $, então:
Passo 4
Agora que temos o $ x $ do vértice, vamos encontrar o valor máximo da função, que é $ f(x_v) $. Substituindo $ x_v $ na função:
Simplificando:
Passo 5
A gente sabe que o valor máximo é 8, então:
Multiplicando tudo por $ m $ para tirar o denominador:
Rearranjando para formar uma equação quadrática:
Passo 6
Vamos resolver a equação quadrática $ m^{2} - 8m - 9 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, $ a = 1 $, $ b = -8 $ e $ c = -9 $. Calculando o discriminante:
Então:
Isso dá duas soluções:
Mas lembrando que $ m $ precisa ser negativo para que a parábola abra para baixo, então descartamos $ m = 9 $.
Resposta
O valor de $ m $ é -1.