As informações relevantes que extraí do enunciado:
u[n] é a função passo unitário: u[n]=1 para n\ge0 e u[n]=0 para n<0.
O sinal é soma de duas sequências causais (cada termo multiplicado por u[n] anula valores para n<0).
O que o enunciado pede: encontrar a transformada Z do sinal x[n] (ou seja, X(z)).
Passo 2
Definição e ideia básica que vou usar (explicação didática).
A transformada Z de uma sequência x[n] é, por definição,
X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\,z^{-n},
onde z é a variável complexa. Para sinais causais (não nulos só para n\ge0) a soma vira de n=0 a \infty.
Um fato muito útil (e que costuma aparecer em prova) é a soma geométrica: para |r|<1 vale
\sum_{n=0}^{\infty} r^{n}=\frac{1}{1-r}.
Vou aplicar essa soma geométrica com r igual a alguma combinação contendo z^{-1}. Lembre-se: a condição |r|<1 vira a condição de convergência (ROC) para a transformada.
Passo 3
Aplicando linearidade e a soma geométrica ao primeiro termo.
As duas condições de convergência são |z|>\tfrac{1}{2} e |z|>\tfrac{1}{3}. A ROC comum (interseção) é
|z|>\tfrac{1}{2},
porque \tfrac{1}{2} é maior que \tfrac{1}{3}. Isso faz sentido fisicamente: os pólos estão em z=\tfrac{1}{2} e z=-\tfrac{1}{3}; para uma sequência causal a ROC é fora do maior módulo de pólo.
Passo 6
Formas alternativas (úteis na prova) e simplificação algébrica.
Multiplicando numerador e denominador de cada fração por z (para escrever em termos de z em vez de z^{-1}) obtemos