*** Transformada Z
Encontrar a transformada Z do sinal discreto x[n]=\left(\frac{1}{2}\right)^{n} u[n]+\left(-\frac{1}{3}\right)^{n} u[n].

Passo 1

O enunciado nos dá o sinal discreto
x[n]=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}u[n]+\left(-\tfrac{1}{3}\right)^{n}u[n].
As informações relevantes que extraí do enunciado:
  • u[n] é a função passo unitário: u[n]=1 para n\ge0 e u[n]=0 para n<0.
  • O sinal é soma de duas sequências causais (cada termo multiplicado por u[n] anula valores para n<0).
  • O que o enunciado pede: encontrar a transformada Z do sinal x[n] (ou seja, X(z)).

Passo 2

Definição e ideia básica que vou usar (explicação didática).
  • A transformada Z de uma sequência x[n] é, por definição,
X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\,z^{-n},
onde z é a variável complexa. Para sinais causais (não nulos só para n\ge0) a soma vira de n=0 a \infty.
  • Um fato muito útil (e que costuma aparecer em prova) é a soma geométrica: para |r|<1 vale
\sum_{n=0}^{\infty} r^{n}=\frac{1}{1-r}.
Vou aplicar essa soma geométrica com r igual a alguma combinação contendo z^{-1}. Lembre-se: a condição |r|<1 vira a condição de convergência (ROC) para a transformada.

Passo 3

Aplicando linearidade e a soma geométrica ao primeiro termo.
  • Por linearidade,
X(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n} z^{-n} \;+\; \sum_{n=0}^{\infty}\left(-\tfrac{1}{3}\right)^{n} z^{-n}.
  • Para o primeiro somatório faço r=\left(\tfrac{1}{2}\right)z^{-1}. Então
\sum_{n=0}^{\infty}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n} z^{-n}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\left(\tfrac{1}{2}\right)z^{-1}\right)^{n}=\frac{1}{1-\left(\tfrac{1}{2}\right)z^{-1}},
desde que a condição de convergência seja satisfeita:
\left|\left(\tfrac{1}{2}\right)z^{-1}\right|<1 \quad\Longrightarrow\quad |z|>\tfrac{1}{2}.

Passo 4

Aplicando ao segundo termo.
  • Para o segundo somatório faço r=\left(-\tfrac{1}{3}\right)z^{-1}. Logo
\sum_{n=0}^{\infty}\left(-\tfrac{1}{3}\right)^{n} z^{-n}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\left(-\tfrac{1}{3}\right)z^{-1}\right)^{n}=\frac{1}{1-\left(-\tfrac{1}{3}\right)z^{-1}}=\frac{1}{1+\tfrac{1}{3}z^{-1}},
com válida quando
\left|\left(-\tfrac{1}{3}\right)z^{-1}\right|<1 \quad\Longrightarrow\quad |z|>\tfrac{1}{3}.

Passo 5

Construindo X(z) e determinando a região de convergência (ROC).
  • Somando as duas parcelas obtemos, inicialmente na forma em z^{-1},
X(z)=\frac{1}{1-\tfrac{1}{2}z^{-1}}+\frac{1}{1+\tfrac{1}{3}z^{-1}}.
  • As duas condições de convergência são |z|>\tfrac{1}{2} e |z|>\tfrac{1}{3}. A ROC comum (interseção) é
|z|>\tfrac{1}{2},
porque \tfrac{1}{2} é maior que \tfrac{1}{3}. Isso faz sentido fisicamente: os pólos estão em z=\tfrac{1}{2} e z=-\tfrac{1}{3}; para uma sequência causal a ROC é fora do maior módulo de pólo.

Passo 6

Formas alternativas (úteis na prova) e simplificação algébrica.
  • Multiplicando numerador e denominador de cada fração por z (para escrever em termos de z em vez de z^{-1}) obtemos
X(z)=\frac{z}{z-\tfrac{1}{2}}+\frac{z}{z+\tfrac{1}{3}}.
  • Se quiser uma única fração racional (opcional), faço a soma com denominador comum. Primeiro somo os numeradores:
\frac{z}{z-\tfrac{1}{2}}+\frac{z}{z+\tfrac{1}{3}} =\frac{z\big((z+\tfrac{1}{3})+(z-\tfrac{1}{2})\big)}{(z-\tfrac{1}{2})(z+\tfrac{1}{3})} =\frac{z\big(2z-\tfrac{1}{6}\big)}{z^{2}-\tfrac{1}{6}z-\tfrac{1}{6}}.
  • Multiplicando numerador e denominador por 6 para limpar frações:
X(z)=\frac{12z^{2}-z}{6z^{2}-z-1},
válido para a mesma ROC |z|>\tfrac{1}{2}.

Resposta

X(z)=\frac{1}{1-\tfrac{1}{2}z^{-1}}+\frac{1}{1+\tfrac{1}{3}z^{-1}}
\text{Equivalente: }X(z)=\frac{z}{z-\tfrac{1}{2}}+\frac{z}{z+\tfrac{1}{3}}
\text{(Forma racional) }X(z)=\frac{12z^{2}-z}{6z^{2}-z-1}
\text{ROC: }|z|>\tfrac{1}{2}.

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