Função diferenciável que não é de classe C^{1} : Considere a função
f(x, y)=\left\{\begin{array}{l} \left(x^{2}+y^{2}\right) \operatorname{sen}\left(\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right), \quad \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, \quad \text { se }(x, y)=(0,0) \end{array}\right.
Mostre que:
(a) as derivadas parciais \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} não são contínuas em ( 0,0 ).
(b) f é diferenciável em ( 0,0 ).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\begin{cases} \left(x^{2}+y^{2}\right)\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right), & (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & (x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede duas coisas:
(a) mostrar que as derivadas parciais \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y} não são contínuas em (0,0);
(b) mostrar que f é diferenciável em (0,0).
Informações relevantes do enunciado que vou usar:
  • Para (x,y)\neq(0,0) posso usar r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}>0 e escrever f(x,y)=r^{2}\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{1}{r}\right).
  • Para decidir continuidade das derivadas parciais em (0,0) preciso conhecer os valores das derivadas parciais em pontos próximos de (0,0) e o valor no próprio (0,0).
  • Para provar diferenciabilidade em (0,0) devo mostrar que existe um mapa linear (o diferencial) tal que o erro fica pequeno em relação à norma do vetor: ou seja, com o diferencial Df(0,0)=(a,b) devo ter
f(h,k)-f(0,0)-a h - b k = o\big(\sqrt{h^{2}+k^{2}}\big).]

Passo 2

Calcular as derivadas parciais no ponto (0,0) pela definição (essas são necessárias depois e nos dão o candidato para o diferencial).
A definição da derivada parcial em x no ponto (0,0) é
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}.
Para h\neq0 temos r=|h| e
f(h,0)=h^{2}\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{|h|}\right).
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\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\frac{h^{2}\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{|h|}\right)}{h}=h\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{|h|}\right).
Como \big|h\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{|h|}\right)\big|\le |h| e h\to0 implica |h|\to0, o limite é 0. Portanto
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0.
Analogamente, fazendo a variação apenas em y,
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais em pontos (x,y)\neq(0,0). Vou usar a expressão radial f(x,y)=g(r) com r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e g(r)=r^{2}\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{1}{r}\right) para r>0.
Primeiro calcule g'(r). Usando regra do produto e cadeia,
g(r)=r^{2}\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{r}\right),
g'(r)=2r\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{r}\right)+r^{2}\cos\!\left(\frac{1}{r}\right)\cdot\left(-\frac{1}{r^{2}}\right)=2r\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{r}\right)-\cos\!\left(\frac{1}{r}\right).
Agora, para (x,y)\neq(0,0) temos r diferenciável e \partial r/\partial x = x/r, \partial r/\partial y = y/r. Pela regra da cadeia para funções compostas f(x,y)=g(r(x,y)),
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=g'(r)\cdot\frac{\partial r}{\partial x}=\big(2r\operatorname{sen}\!\tfrac{1}{r}-\cos\!\tfrac{1}{r}\big)\frac{x}{r}.
Simplificando,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{r}\right)-\frac{x}{r}\cos\!\left(\frac{1}{r}\right),
onde r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. De modo análogo,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=2y\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{r}\right)-\frac{y}{r}\cos\!\left(\frac{1}{r}\right).
Breve comentário didático sobre o que foi usado: a regra da cadeia diz que, se f(x,y)=g(r(x,y)) com g diferenciável e r diferenciável em um ponto, então \nabla f=(g'(r))\nabla r. Aqui \nabla r=(x/r,y/r) para r>0. A derivada g'(r) foi calculada com produto e derivada de \sin(1/r) (a qual traz o fator -1/r^{2}).

Passo 4

Mostrar que \dfrac{\partial f}{\partial x} não é contínua em (0,0).
Sabemos do Passo 2 que \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0. Para estudar continuidade em (0,0) olhamos o limite de \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) quando (x,y)\to(0,0). Uma maneira eficaz é tomar uma direção simples: o eixo x, isto é, pontos (x,0) com x\to0. Para tais pontos r=|x| e a fórmula do Passo 3 dá
\frac{\partial f}{\partial x}(x,0)=2x\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{|x|}\right)-\frac{x}{|x|}\cos\!\left(\frac{1}{|x|}\right).
Para x>0 isso é
\frac{\partial f}{\partial x}(x,0)=2x\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x}\right)-\cos\!\left(\frac{1}{x}\right).
Quando x\to0^{+} o termo 2x\sin(1/x)\to0, mas o termo -\cos(1/x) oscila entre -1 e 1 e não tem limite. Portanto o valor de \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,0) não converge para 0 quando x\to0^{+}; de fato não converge de jeito nenhum. Já que o valor da derivada parcial no centro é 0, concluímos que \dfrac{\partial f}{\partial x} não é contínua em (0,0).
Pelo mesmo argumento (tomar a direção y-eixo) encontra-se que \dfrac{\partial f}{\partial y} também não é contínua em (0,0): ao aproximar por pontos (0,y) obtém-se uma expressão com -\cos(1/|y|) que oscila sem limite.

Passo 5

Mostrar que f é diferenciável em (0,0).
Lembrete da definição prática: f é diferenciável em (0,0) e o diferencial é a forma linear L(h,k)=A h + B k precisamente quando
\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{f(h,k)-f(0,0)-L(h,k)}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}}=0.
Do Passo 2 os candidatos são A=\dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0 e B=\dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0. Ou seja, o candidato ao diferencial é o mapa zero L\equiv0. Preciso provar
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=0.
Usando r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e a forma da função,
\left|\frac{f(x,y)}{r}\right|=\left|\frac{r^{2}\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{r}\right)}{r}\right|=r\left|\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{r}\right)\right|\le r\cdot 1 = r.
Como r\to0 quando (x,y)\to(0,0), segue que \dfrac{f(x,y)}{r}\to0. Portanto
f(x,y)-0-0 = o\big(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\big),
ou seja, f é diferenciável em (0,0) e Df(0,0)=(0,0).
Didaticamente: a razão pela qual isso funciona é que embora as derivadas parciais oscilem muito perto da origem (por causa do termo \cos(1/r) multiplicado por \tfrac{x}{r} ou \tfrac{y}{r}), a própria função f tem ordem de pequenaza r^{2} (pois é r^{2}\sin(1/r)), e isso é suficiente para que f seja bem menor que r (a ordem necessária para diferenciabilidade com diferencial zero).

Passo 6

Resumo e conclusão lógica dos itens pedidos:
  • (a) As derivadas parciais não são contínuas em (0,0) porque, por exemplo, ao aproximar pela linha (x,0) tem-se
\frac{\partial f}{\partial x}(x,0)=2x\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{|x|}\right)-\cos\!\left(\frac{1}{x}\right)
para x>0, que não tem limite quando x\to0^{+}, enquanto \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0.
  • (b) Apesar disso, f é diferenciável em (0,0) porque f(x,y)=r^{2}\sin(1/r) e portanto
\left|\frac{f(x,y)-0-0}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right|\le r\to0,
mostrando que o erro é o(r) e o diferencial em (0,0) é a aplicação linear nula.

Resposta

(a) As derivadas parciais \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y} não são contínuas em (0,0).\n
(b) f é diferenciável em (0,0) e Df(0,0)=(0,0).

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