Um anúncio apareceu na televisão oferecendo ingressos gratuitos para um concerto a quem respondesse a uma pesquisa de opinião pela Internet. A companhia responsável pela promoção tabulou o número de respostas e calculou que a taxa de variação do número de respostas por hora podia ser modelado pela função
R^prime(h)=37(0,8 h+10,4 h^2+h+1), onde h é o número de horas após a divulgação do anúncio.
Determine o número de respostas em função do tempo (em horas), dado que houve 168 respostas imediatas.

Passo 1

O enunciado pede pra encontrar o número total de respostas ao longo do tempo, ou seja, a função R(h) cujos valores iniciais são R(0)=168. O conteúdo aqui é integração de uma taxa de variação, pois R′(h) é dada e precisamos achar a primitiva.

Passo 2

Escrevendo a integral, temos que R(h) é uma antiderivada de R′(h). Logo,
R(h)= integral R'(h),dh =integral 370.8h+10.4h^2+h+1,dh

Passo 3

Repare que, definindo D(h)=0.4h^2+h+1, sua derivada é D′(h)=0.8h+1, exatamente o numerador da fração. Assim,
integral 370.8h+10.4h^2+h+1,dh =37integral D'(h)D(h),dh =37lnl(D(h)r)+C =37ln(0.4h^2+h+1)+C

Passo 4

Para achar a constante C, usamos R(0)=168:
R(0)=37ln(1)+C=0+ C=168 implies C=168

Resposta

R(h)=168+37lnl(0.4h^2+h+1)

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