Exercício 1.8.6 Para cada par de funções abaixo, calcule f+g, f-g, f g, f / g, g / f, f circ g, g circ f e k f (onde k é uma constante) e escreva o conjunto domínio de cada uma das novas funções encontradas.
f(x)=raizx e g(x)=x^2+1;

Passo 1

Vamos resolver o que o enunciado pede: temos f(x)= raizx e g(x)= x^2+1. O conteúdo aqui é aprender operações entre funções (soma, subtração, produto, quocientes) e composições, além de determinar o domínio de cada resultado. Para isso, vamos usar: (i) o domínio de uma soma, produto ou subtração é a interseção dos domínios de f e g, ajustando onde houver denominador ou radicando; (ii) o domínio de f/g ou g/f exige ainda que o denominador não se anule; (iii) na composição f∘g, devemos ter x no domínio de g e g(x) no domínio de f; e vice-versa para g∘f.

Passo 2

Para f+g definimos
(f+g)(x)=raizx + (x^2+1)
Os domínios são D_f=[0,∞) e D_g=ℝ, então D_{f+g}=D_f ∩ D_g=[0,∞).

Passo 3

Para f−g definimos
(f-g)(x)=raizx - (x^2+1)
Como acima, D_{f-g}=[0,∞).

Passo 4

Para f⋅g definimos
(f,g)(x)=raizx,(x^2+1)
De novo, a interseção dá D_{f g}=[0,∞).

Passo 5

Para f/g definimos
fg(x)=raizxx^2+1
Aqui x^2+1≥1 nunca zera, e precisamos de x≥0 para a raiz, logo D_{f/g}=[0,∞).

Passo 6

Para g/f definimos
gf(x)=x^2+1raizx
Agora o denominador exige raizxne0, ou seja x>0, além de x≥0 na raiz. Logo D_{g/f}=(0,∞).

Passo 7

Para f∘g definimos
(fcirc g)(x)=raiz,g(x),=raizx^2+1
Precisamos de g(x)=x^2+1≥0, que vale para todo x∈ℝ. E x deve estar em D_g=ℝ, então D_{f\circ g}=ℝ.

Passo 8

Para g∘f definimos
(gcirc f)(x)=gl(raizxr)=(raizx)^2+1=x+1
Aqui x precisa estar em D_f=[0,∞), e não há outra restrição, logo D_{g\circ f}=[0,∞).

Passo 9

Para k·f definimos
(k f)(x)=k,raizx
Isso só exige x≥0 para a raiz, logo D_{k f}=[0,∞).

Resposta

f+g: (\sqrt{x}+x^2+1), D=[0,∞)
f−g: (\sqrt{x}−(x^2+1)), D=[0,∞)
fg: raizx(x^2+1), D=[0,∞)
f/g: tfracraizxx^2+1, D=[0,∞)
g/f: tfracx^2+1raizx, D=(0,∞)
f∘g: raizx^2+1, D=ℝ
g∘f: x+1, D=[0,∞)
kf: kraizx, D=[0,∞)

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