Exercício 1.8.6 Para cada par de funções abaixo, calcule
,
e
(onde
é uma constante) e escreva o conjunto domínio de cada uma das novas funções encontradas.
e
;
Passo 1
Vamos resolver o que o enunciado pede: temos f(x)=
e g(x)=
. O conteúdo aqui é aprender operações entre funções (soma, subtração, produto, quocientes) e composições, além de determinar o domínio de cada resultado. Para isso, vamos usar: (i) o domínio de uma soma, produto ou subtração é a interseção dos domínios de f e g, ajustando onde houver denominador ou radicando; (ii) o domínio de f/g ou g/f exige ainda que o denominador não se anule; (iii) na composição f∘g, devemos ter x no domínio de g e g(x) no domínio de f; e vice-versa para g∘f.
Passo 2
Para f+g definimos
Os domínios são D_f=[0,∞) e D_g=ℝ, então D_{f+g}=D_f ∩ D_g=[0,∞).
Passo 3
Para f−g definimos
Como acima, D_{f-g}=[0,∞).
Passo 4
Para f⋅g definimos
De novo, a interseção dá D_{f g}=[0,∞).
Passo 5
Para f/g definimos
Aqui x^2+1≥1 nunca zera, e precisamos de x≥0 para a raiz, logo D_{f/g}=[0,∞).
Passo 6
Para g/f definimos
Agora o denominador exige
Passo 7
Para f∘g definimos
Precisamos de g(x)=x^2+1≥0, que vale para todo x∈ℝ. E x deve estar em D_g=ℝ, então D_{f\circ g}=ℝ.
Passo 8
Para g∘f definimos
Aqui x precisa estar em D_f=[0,∞), e não há outra restrição, logo D_{g\circ f}=[0,∞).
Passo 9
Para k·f definimos
Isso só exige x≥0 para a raiz, logo D_{k f}=[0,∞).
Resposta
f+g: (\sqrt{x}+x^2+1), D=[0,∞)
f−g: (\sqrt{x}−(x^2+1)), D=[0,∞)
fg: , D=[0,∞)
f/g: , D=[0,∞)
g/f: , D=(0,∞)
f∘g: , D=ℝ
g∘f: , D=[0,∞)
kf: , D=[0,∞)
f−g: (\sqrt{x}−(x^2+1)), D=[0,∞)
fg:
f/g:
g/f:
f∘g:
g∘f:
kf: