(Vídeo 1) Faça a divisão dos polinômios:
2 x^5+x^2x^2+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a divisão dos polinômios $ \frac{2x^{5} + x{2}}{x{2} + 2} $. Isso está dentro do conteúdo de divisão de polinômios, especificamente usando o método da divisão longa. Para resolver, vamos precisar lembrar como funciona a divisão longa de polinômios, que é bem parecido com a divisão que fazemos com números.

Passo 2

Primeiro, escrevemos os polinômios no formato padrão, organizando os termos do maior para o menor grau. No numerador temos $ 2x^{5} + x^{2} $ e no denominador $ x^{2} + 2 $. Vamos configurar a divisão longa colocando $ 2x^{5} + x^{2} $ dentro da “casinha” (dividendo) e $ x^{2} + 2 $ do lado de fora (divisor).

Passo 3

Agora, olhamos para o primeiro termo do dividendo ( 2x^5) e do divisor ( x^2). Perguntamos: quanto multiplicamos x^2 para chegar em 2x^5? A resposta é 2x^3, pois x^2 times 2x^3 = 2x^5. Esse 2x^3 será o primeiro termo do nosso quociente.

Passo 4

Multiplicamos todo o divisor x^2 + 2 por 2x^3, resultando em 2x^5 + 4x^3. Subtraímos esse resultado do dividendo original:
(2x^5 + x^2) - (2x^5 + 4x^3) &= 0x^5 - 4x^3 + x^2 &= -4x^3 + x^2

Passo 5

Repitamos o processo com o novo dividendo -4x^3 + x^2. Quanto multiplicamos x^2 para chegar em -4x^3? Multiplicamos por -4x, pois x^2 times (-4x) = -4x^3. Adicionamos -4x ao nosso quociente.

Passo 6

Multiplicamos x^2 + 2 por -4x, obtendo -4x^3 - 8x. Subtraímos isso do dividendo atual:
(-4x^3 + x^2) - (-4x^3 - 8x) &= 0x^3 + x^2 + 8x &= x^2 + 8x

Passo 7

Agora, com o dividendo x^2 + 8x, vemos que x^2 dividido por x^2 é 1. Então, multiplicamos o divisor por 1, que dá x^2 + 2, e subtraímos:
(x^2 + 8x) - (x^2 + 2) &= 0x^2 + 8x - 2 &= 8x - 2

Passo 8

Agora, o grau do restante 8x - 2 é menor que o grau do divisor x^2 + 2, então paramos por aqui. Nosso quociente é 2x^3 - 4x + 1 e o resto é 8x - 2.

Resposta

A divisão dos polinômios resulta em:
2x^5 + x^2x^2 + 2 = 2x^3 - 4x + 1 + 8x - 2x^2 + 2

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