Num aparelho de TV colorido comum, os elétrons são acelerados através de uma diferença de potencial de 25.0 kV . Determine o comprimento de onda de De Broglie desses elétrons (a) usando a expressão clássica para o momento linear e (b) levando em conta a relatividade.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de onda de De Broglie de elétrons acelerados por uma diferença de potencial de \,25{,}0\\ \text{kV}. Vamos tratar dois casos:
– (a) usando a mecânica clássica, em que o momento linear vem de \,K=\tfrac{p^2}{2m}.
– (b) levando em conta a relatividade, em que usamos a relação de energia e momento \,E^2 = p^2c^2 + m^2c^4.

Passo 2

No caso clássico, a energia cinética vale
K = eV,
e como
K = \frac{p^2}{2m},
temos
p = \sqrt{2m\,eV}.
O comprimento de onda de De Broglie é
\lambda_{\text{cl}} = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2m\,eV}}.

Passo 3

Substituindo h = 6{,}626\times10^{-34}\,\text{J\cdots},
m = 9{,}109\times10^{-31}\,\text{kg},
e = 1{,}602\times10^{-19}\,\text{C} e
V = 25{,}0\times10^{3}\,\text{V}, calcula-se
p = \sqrt{2\,(9{,}109\times10^{-31})\,(1{,}602\times10^{-19})(25{,}0\times10^{3})} \approx 8{,}55\times10^{-23}\,\text{kg\cdotm/s},
logo
\lambda_{\text{cl}} = \frac{6{,}626\times10^{-34}}{8{,}55\times10^{-23}} \approx 7{,}75\times10^{-12}\,\text{m}.

Passo 4

No caso relativístico, a energia total é
E = K + mc^2,
e da relação
E^2 = p^2c^2 + m^2c^4
segue
p\,c = \sqrt{K\,(K + 2mc^2)}.
Assim
\lambda_{\text{rel}} = \frac{h}{p} = \frac{h\,c}{p\,c} = \frac{h\,c}{\sqrt{K\,(K + 2mc^2)}}.

Passo 5

Usando h\,c = 1{,}240\\ \text{eV\cdotnm},
K = 25{,}0\times10^{3}\\ \text{eV} e
mc^2 = 511\times10^{3}\\ \text{eV}, temos
\sqrt{K\,(K + 2mc^2)} = \sqrt{25{,}0\times10^{3}\,(25{,}0\times10^{3} + 2\cdot511\times10^{3})} \approx 1{,}618\times10^{5}\\ \text{eV},
portanto
\lambda_{\text{rel}} = \frac{1{,}240\\ \text{eV\cdotnm}}{1{,}618\times10^{5}\\ \text{eV}} \approx 7{,}66\times10^{-3}\\ \text{nm} = 7{,}66\times10^{-12}\\ \text{m}.

Resposta

(a) \lambda_{\text{cl}} \approx 7{,}75\times10^{-12}\,\text{m}.
(b) \lambda_{\text{rel}} \approx 7{,}66\times10^{-12}\,\text{m}.

Exercícios relacionados