O acelerador de elétrons de 32 GeV da Universidade de Stanford gera um feixe eletrônico de pequeno comprimento de onda, adequado para o exame de detalhes minuciosos da estrutura nuclear, em experiências de espalhamento. Qual é este comprimento de onda e como ele se compara com o tamanho de um núcleo atômico médio? (A estas energias, é suficiente usar a relação relativística extrema entre o momento linear e a energia, ou seja, p=E / c. Esta é a mesma relação usada para a luz e seu uso é justificado quando a energia cinética de uma partícula é muito maior do que a sua energia de repouso, como ocorre neste caso. O raio de um núcleo de massa média é de cerca de 5,0 \mathrm{fm}.)
10. Considere um balão cheio de gás hélio (monoatômico) a 18^{\circ} \mathrm{C} e 1,0 atm de pressão. Calcule (a) o comprimento de De Broglie médio dos átomos de hélio e ( b ) a distância média entre os átomos. Os átomos podem ser tratados como partículas, sob estas condições?

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de onda de De Broglie de elétrons acelerados a 32 GeV e sua comparação com o tamanho de um núcleo atômico médio. O conteúdo é a relação relativística p=E/c e a fórmula de De Broglie \lambda=h/p. Vamos usar hc=197{,}3\\ \mathrm{MeV\cdot fm}.

Passo 2

Calculamos o momento aproximado dos elétrons por
p = \frac{E}{c}
e, em seguida, o comprimento de onda
\lambda = \frac{h}{p} = \frac{hc}{E}.
Substituindo E=32\,000\\ \mathrm{MeV} e hc=197{,}3\\ \mathrm{MeV\cdot fm},
\lambda = \frac{197{,}3\\ \mathrm{MeV\cdot fm}}{32\,000\\ \mathrm{MeV}} \approx 6,17\times10^{-3}\\ \mathrm{fm}.

Passo 3

O raio de um núcleo médio é cerca de 5{,}0\\ \mathrm{fm}. Como
6,17\times10^{-3}\\ \mathrm{fm}\ll 5{,}0\\ \mathrm{fm},
o comprimento de onda dos elétrons é centenas de vezes menor que o tamanho do núcleo, permitindo sondar detalhes nucleares.

Passo 4

O segundo problema pede (a) o comprimento de onda médio de De Broglie de átomos de hélio a 18^\circ\mathrm{C} e 1,0 atm e (b) a distância média entre átomos. Usamos a velocidade rms dos átomos e o gás ideal.

Passo 5

Calculamos a velocidade rms
v_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\frac{3kT}{m}},
com T=291\\ \mathrm{K}, k=1,381\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K} e m=4\,u=6,642\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.
v_{\mathrm{rms}}\approx1,35\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}.
O comprimento de onda é
\lambda = \frac{h}{mv_{\mathrm{rms}}} = \frac{6,626\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}}{6,642\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}\,\cdot1,35\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}} \approx7,4\times10^{-11}\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Para a densidade volumétrica
n = \frac{P}{kT} = \frac{1,013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}}{1,381\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K}\,\cdot291\\ \mathrm{K}} \approx2,52\times10^{25}\\ \mathrm{m^{-3}}.
A distância média entre átomos é
d \approx n^{-1/3}\approx2,9\times10^{-9}\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Comparando \lambda\approx7{,}4\times10^{-11}\\ \mathrm{m} com d\approx2,9\times10^{-9}\\ \mathrm{m}, vemos que \lambda\ll d. Logo, os átomos são bem localizados e podem ser tratados classicamente.

Resposta

Comprimento de onda dos elétrons de 32 GeV:
\lambda\approx6,17\times10^{-3}\\ \mathrm{fm}, muito menor que o raio nuclear ( 5{,}0\\ \mathrm{fm}).
No balão de hélio a 18\circC e 1,0 atm:
(a) \lambda\approx7,4\times10^{-11}\\ \mathrm{m}.
(b) distância média entre átomos d\approx2,9\times10^{-9}\\ \mathrm{m}.
Como \lambda\ll d, os átomos podem ser tratados como partículas clássicas.

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