Um fóton livre possui uma energia de 1,5 \mathrm{eV} e um elétron, também livre, possui uma energia cinética idêntica. Quais são os seus comprimentos de onda?

Passo 1

O enunciado dá um fóton livre com energia \,1{,}5\;\mathrm{eV} e um elétron livre com energia cinética igual. Queremos encontrar os comprimentos de onda de cada um.
Conteúdo envolvido:
  • Para o fóton, usamos a relação entre energia e comprimento de onda
\lambda = \frac{hc}{E}\,,
onde h é a constante de Planck e c a velocidade da luz.
  • Para o elétron, aplicamos a hipótese de de Broglie
\lambda = \frac{h}{p} \quad\text{com}\quad p = \sqrt{2\,m\,E}\,,
onde m é a massa do elétron e E a energia cinética.

Passo 2

Para o fóton, primeiro convertemos a energia de \mathrm{eV} para joules:
E = 1{,}5\;\mathrm{eV}\times 1{,}602\times10^{-19}\;\mathrm{J/eV} =2{,}403\times10^{-19}\;\mathrm{J}.
Em seguida, usamos
\lambda_{\rm f}=\frac{h\,c}{E} =\frac{6{,}626\times10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}\;\times\;3{,}00\times10^{8}\,\mathrm{m/s}} {2{,}403\times10^{-19}\,\mathrm{J}} \approx8{,}27\times10^{-7}\,\mathrm{m}.

Passo 3

Para o elétron, convertemos a energia cinética da mesma forma:
E = 2{,}403\times10^{-19}\;\mathrm{J}.
O momento vale
p = \sqrt{2\,m_e\,E} =\sqrt{2\times9{,}11\times10^{-31}\,\mathrm{kg}\times2{,}403\times10^{-19}\,\mathrm{J}} \approx6{,}61\times10^{-25}\,\mathrm{kg\cdot m/s}.
Logo, o comprimento de onda de de Broglie é
\lambda_{\rm e}=\frac{h}{p} =\frac{6{,}626\times10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}}{6{,}61\times10^{-25}\,\mathrm{kg\cdot m/s}} \approx1{,}00\times10^{-9}\,\mathrm{m}.

Resposta

\lambda_{\rm f}\approx8{,}27\times10^{-7}\,\mathrm{m} ( \approx 827 nm)
\lambda_{\rm e}\approx1{,}00\times10^{-9}\,\mathrm{m} ( \approx 1,00 nm)

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