Um espectrômetro de nêutrons a cristal utiliza planos cristalinos de espaçamento d=73,2 \mathrm{pm}. em um cristal de berílio. Qual deve ser o ângulo de Bragg \theta para que os nêutrons de energia K=4,2 \mathrm{eV} sejam refletidos? Considere apenas reflexões de primeira ordem.

Passo 1

O enunciado pede o ângulo de Bragg \theta para nêutrons de energia K=4{,}2\\ \mathrm{eV} refletidos em primeira ordem ( n=1) por planos cristalinos com espaçamento d=73{,}2\\ \mathrm{pm}. Vamos usar a relação de de Broglie para achar o comprimento de onda \lambda dos nêutrons e depois aplicar a lei de Bragg.

Passo 2

Primeiro convertemos a energia para joules e calculamos \lambda.
K = 4{,}2\\ \mathrm{eV} = 4{,}2 \times 1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{J} = 6{,}7284\times10^{-19}\\ \mathrm{J}
A relação de de Broglie é
\lambda = \frac{h}{\sqrt{2\,m_n\,K}},
onde h=6{,}626\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s} e m_n=1{,}675\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.
Substituindo,
\lambda = \frac{6{,}626\times10^{-34}}{\sqrt{2\cdot1{,}675\times10^{-27}\cdot6{,}7284\times10^{-19}}} \approx1{,}396\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Agora aplicamos a lei de Bragg em primeira ordem ( n=1):
2\,d\,\sin\theta = \lambda \quad\Longrightarrow\quad \sin\theta = \frac{\lambda}{2\,d}.

Passo 4

Substituindo \lambda=1{,}396\times10^{-10}\\ \mathrm{m} e d=73{,}2\times10^{-12}\\ \mathrm{m}, temos
\sin\theta = \frac{1{,}396\times10^{-10}}{2\times73{,}2\times10^{-12}} \approx0{,}953,
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\theta = \arcsin(0{,}953)\approx72{,}3^\circ.

Resposta

\theta \approx 72{,}3^\circ

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