Há apenas duas empresas produtoras de barracas de praia: a empresa Praia e a empresa Verão. A demanda inversa de barracas de praia é dada por: P=64-4 Y, onde P representa o preço e Y representa a quantidade procurada. Suponha que o custo marginal das duas empresas seja constante e igual a 32 por barraca. Cada empresa possui custos fixos de 10 , e pode produzir somente quantidades discretas de barracas.
(a) Quanto cada empresa produzirá se agem em conluio?
(b) A empresa Praia possui incentivo para burlar o acordo?
(c) Se ambas as empresas estabelecerem um acordo em que cada empresa produz 3 unidades, a empresa Praia terá incentivo para burlar o acordo e produzir 4 unidades?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Dados do enunciado:
  • A demanda inversa é \displaystyle P = 64 - 4Y, onde \displaystyle Y é a quantidade total vendida (soma das quantidades das duas empresas).
  • Custo marginal de cada empresa: \displaystyle MC = 32 por barraca (constante).
  • Custo fixo de cada empresa: \displaystyle FC = 10.
  • Quantidades são discretas (inteiros).
  • Há duas empresas: Praia e Verão. Denoto a quantidade produzida por Praia por \displaystyle q_P e por Verão por \displaystyle q_V. Então \displaystyle Y = q_P + q_V.
O enunciado pede:
(a) Quanto cada empresa produzirá se agem em conluio?
(b) A empresa Praia possui incentivo para burlar (desviar do) acordo de conluio?
(c) Se ambas acordarem que cada uma produz \displaystyle 3 unidades, a empresa Praia terá incentivo para burlar o acordo e produzir \displaystyle 4 unidades?
Observação: quando falamos em “incentivo para burlar o acordo” significa verificar se a empresa, ao mudar unilateralmente sua produção (mantendo a outra fixa conforme o acordo), aumenta seu lucro líquido (já subtraídos os custos fixos).

Passo 2

Entender como se encontra a produção conjunta ótima (conluio). Quando as duas agem em conluio elas maximizam o lucro conjunto, que depende apenas da quantidade total \displaystyle Y.
Receita total:
\text{RT}(Y)=P\cdot Y=(64-4Y)Y=64Y-4Y^{2}.
Custo total variável (soma dos custos marginais):
\text{CTv}(Y)=MC\cdot Y=32Y.
Lucro conjunto (antes de subtrair custos fixos; os custos fixos são constantes e não alteram o ponto ótimo em termos de quantidade):
\Pi(Y)=\text{RT}(Y)-\text{CTv}(Y)=64Y-4Y^{2}-32Y=32Y-4Y^{2}.

Passo 3

Maximizar \displaystyle \Pi(Y) em relação a \displaystyle Y. Derivando:
\frac{d\Pi}{dY}=32-8Y.
Igualando a zero para encontrar o máximo:
32-8Y=0 \quad\Rightarrow\quad Y=4.
Verificação rápida que é máximo: \displaystyle \frac{d^{2}\Pi}{dY^{2}}=-8<0, então é máximo.
Preço correspondente:
P=64-4Y=64-4\cdot 4=64-16=48.
Lucro conjunto (antes de custos fixos) com \displaystyle Y=4:
\Pi(4)=32\cdot 4-4\cdot 4^{2}=128-64=64.
Subtraindo custos fixos totais das duas empresas ( 2\cdot 10=20):
\Pi_{\text{conjunto líquido}}=64-20=44.í
Comentário: o total produzido em conluio é \displaystyle Y=4. A forma como esse total é dividido entre as duas empresas não altera o lucro conjunto, pois este depende só de \displaystyle Y. Em empresas simétricas (mesmos custos) uma divisão natural e justa é dividir igualmente a produção: cada uma produz \displaystyle 2.

Passo 4

Resposta direta para (a) com justificativa: em conluio o total é \displaystyle Y=4 e, por simetria, cada empresa produz
q_P=q_V=2.
(Nota: outras divisões com q_P+q_V=4 dão o mesmo lucro conjunto, mas igualdade é a divisão simétrica e típica.)

Passo 5

Agora vamos verificar se a empresa Praia tem incentivo para burlar o acordo de conluio quando o acordo prescreve q_P=q_V=2.
Fixamos \displaystyle q_V=2 e deixamos \displaystyle q_P variar em inteiros. Preço como função de \displaystyle q_P:
P = 64 - 4(q_P+2)=56 - 4q_P.
O lucro da Praia (lucro líquido, subtraindo seu custo fixo \displaystyle 10) ao escolher \displaystyle q_P é:
\pi_P(q_P) = (P - MC)\,q_P - 10 = \bigl((56-4q_P)-32\bigr)q_P -10 = (24-4q_P)q_P -10.
Expandindo:
\pi_P(q_P)=24q_P - 4q_P^{2} - 10.
Como as quantidades são discretas, avalio \pi_P(q_P) para valores inteiros de \displaystyle q_P razoáveis (de \displaystyle 0 até onde o lucro marginal vira negativo). Calculamos alguns valores úteis:
  • Para \displaystyle q_P=0:
\pi_P(0)= -10.
  • Para \displaystyle q_P=1:
\pi_P(1)=24-4-10=10.
  • Para \displaystyle q_P=2 (cumprindo o acordo):
\pi_P(2)=48-16-10=22.
  • Para \displaystyle q_P=3:
\pi_P(3)=72-36-10=26.
  • Para \displaystyle q_P=4:
\pi_P(4)=96-64-10=22.
  • Para \displaystyle q_P=5:
\pi_P(5)=120-100-10=10.
  • Para \displaystyle q_P=6:
\pi_P(6)=144-144-10=-10.
Observações sobre esses números:
  • Ao cumprir o acordo ( \displaystyle q_P=2) a Praia obtém lucro \displaystyle \pi_P=22.
  • Se a Praia unilateralmente aumentar para \displaystyle q_P=3 mantendo Verão em \displaystyle 2, seu lucro sobe para \displaystyle 26.
  • Produzir \displaystyle q_P=4 dá lucro \displaystyle 22, igual ao obedecer; \displaystyle q_P=3 é o melhor desvio entre os inteiros testados.

Passo 6

Conclusão para (b): Sim, a empresa Praia tem incentivo para burlar o acordo de conluio: ao aumentar sua produção de \displaystyle 2 para \displaystyle 3 unidades (enquanto Verão permanece em \displaystyle 2), seu lucro aumenta de \displaystyle 22 para \displaystyle 26. Portanto existe incentivo unilateral para desviar.
Explicação intuitiva rápida (didática): quando a Praia aumenta a sua produção ela ganha vendas adicionais a um preço que ainda está acima do seu custo marginal, então o lucro por unidade adicional é positivo — essa é a tentação típica em conluios: cortar o preço/elevar oferta para ganhar mercado e lucro marginal imediato, mesmo que a price war reduza lucros conjuntos.

Passo 7

Agora (c): suponha que ambas acordem produzir \displaystyle 3 unidades cada (ou seja, \displaystyle q_P=q_V=3, total \displaystyle Y=6). Pergunta: Praia tem incentivo para produzir \displaystyle 4 unidades unilateralmente?
Fixamos \displaystyle q_V=3. Para uma escolha geral \displaystyle q_P, o preço é
P=64-4(q_P+3)=52-4q_P.
O lucro da Praia torna-se
\pi_P(q_P)=(P-MC)q_P-10 = (20-4q_P)q_P -10 = 20q_P -4q_P^{2}-10.
Avalio os valores relevantes:
  • Para \displaystyle q_P=3 (cumprimento do acordo):
\pi_P(3)=60-36-10=14.
  • Para \displaystyle q_P=4 (desvio perguntado):
\pi_P(4)=80-64-10=6.
  • Para \displaystyle q_P=2 (outro desvio possível):
\pi_P(2)=40-16-10=14.
Interpretação:
  • Se Praia cumprir e produzir \displaystyle 3, obtém \displaystyle \pi_P=14.
  • Se desviar para \displaystyle 4, obtém \displaystyle \pi_P=6, que é menor.
  • Curiosamente, diminuir produção para \displaystyle 2 também lhe daria \displaystyle 14 (mesmo lucro), mas o desvio para \displaystyle 4 piora o lucro.

Passo 8

Conclusão para (c): Não — se ambas acordarem produzir \displaystyle 3 unidades cada, a Praia não tem incentivo para burlar o acordo produzindo \displaystyle 4 unidades, porque seu lucro cairia de \displaystyle 14 para \displaystyle 6.

Resposta

(a) q_P=2,\; q_V=2.\n
(b) Sim. Ao desviar de 2 para 3 unidades (mantendo q_V=2) a Praia aumenta seu lucro de \;22\; para \;26\;.\n
(c) Não. Se ambas produzem 3 cada, a Praia ao produzir 4 reduziria seu lucro de \;14\; para \;6\;.

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