Há apenas duas empresas produtoras de barracas de praia: a empresa Praia e a empresa Verão. A demanda inversa de barracas de praia é dada por:
, onde
representa o preço e
representa a quantidade procurada. Suponha que o custo marginal das duas empresas seja constante e igual a 32 por barraca. Cada empresa possui custos fixos de 10 , e pode produzir somente quantidades discretas de barracas.
(a) Quanto cada empresa produzirá se agem em conluio?
(b) A empresa Praia possui incentivo para burlar o acordo?
(c) Se ambas as empresas estabelecerem um acordo em que cada empresa produz 3 unidades, a empresa Praia terá incentivo para burlar o acordo e produzir 4 unidades?
(a) Quanto cada empresa produzirá se agem em conluio?
(b) A empresa Praia possui incentivo para burlar o acordo?
(c) Se ambas as empresas estabelecerem um acordo em que cada empresa produz 3 unidades, a empresa Praia terá incentivo para burlar o acordo e produzir 4 unidades?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Dados do enunciado:
- A demanda inversa é
, onde é a quantidade total vendida (soma das quantidades das duas empresas). - Custo marginal de cada empresa:
por barraca (constante). - Custo fixo de cada empresa:
. - Quantidades são discretas (inteiros).
- Há duas empresas: Praia e Verão. Denoto a quantidade produzida por Praia por
e por Verão por . Então .
O enunciado pede:
(a) Quanto cada empresa produzirá se agem em conluio?
(b) A empresa Praia possui incentivo para burlar (desviar do) acordo de conluio?
(c) Se ambas acordarem que cada uma produz unidades, a empresa Praia terá incentivo para burlar o acordo e produzir
unidades?
(a) Quanto cada empresa produzirá se agem em conluio?
(b) A empresa Praia possui incentivo para burlar (desviar do) acordo de conluio?
(c) Se ambas acordarem que cada uma produz
Observação: quando falamos em “incentivo para burlar o acordo” significa verificar se a empresa, ao mudar unilateralmente sua produção (mantendo a outra fixa conforme o acordo), aumenta seu lucro líquido (já subtraídos os custos fixos).
Passo 2
Entender como se encontra a produção conjunta ótima (conluio). Quando as duas agem em conluio elas maximizam o lucro conjunto, que depende apenas da quantidade total
.
Receita total:
Custo total variável (soma dos custos marginais):
Lucro conjunto (antes de subtrair custos fixos; os custos fixos são constantes e não alteram o ponto ótimo em termos de quantidade):
Passo 3
Maximizar
em relação a
. Derivando:
Igualando a zero para encontrar o máximo:
Verificação rápida que é máximo:
, então é máximo.
Preço correspondente:
Lucro conjunto (antes de custos fixos) com
:
Subtraindo custos fixos totais das duas empresas (
):
Comentário: o total produzido em conluio é
. A forma como esse total é dividido entre as duas empresas não altera o lucro conjunto, pois este depende só de
. Em empresas simétricas (mesmos custos) uma divisão natural e justa é dividir igualmente a produção: cada uma produz
.
Passo 4
Resposta direta para (a) com justificativa: em conluio o total é
e, por simetria, cada empresa produz
(Nota: outras divisões com
dão o mesmo lucro conjunto, mas igualdade é a divisão simétrica e típica.)
Passo 5
Agora vamos verificar se a empresa Praia tem incentivo para burlar o acordo de conluio quando o acordo prescreve
.
Fixamos
e deixamos
variar em inteiros. Preço como função de
:
O lucro da Praia (lucro líquido, subtraindo seu custo fixo
) ao escolher
é:
Expandindo:
Como as quantidades são discretas, avalio
para valores inteiros de
razoáveis (de
até onde o lucro marginal vira negativo). Calculamos alguns valores úteis:
- Para
:
- Para
:
- Para
(cumprindo o acordo):
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Observações sobre esses números:
- Ao cumprir o acordo (
) a Praia obtém lucro . - Se a Praia unilateralmente aumentar para
mantendo Verão em , seu lucro sobe para . - Produzir
dá lucro , igual ao obedecer; é o melhor desvio entre os inteiros testados.
Passo 6
Conclusão para (b): Sim, a empresa Praia tem incentivo para burlar o acordo de conluio: ao aumentar sua produção de
para
unidades (enquanto Verão permanece em
), seu lucro aumenta de
para
. Portanto existe incentivo unilateral para desviar.
Explicação intuitiva rápida (didática): quando a Praia aumenta a sua produção ela ganha vendas adicionais a um preço que ainda está acima do seu custo marginal, então o lucro por unidade adicional é positivo — essa é a tentação típica em conluios: cortar o preço/elevar oferta para ganhar mercado e lucro marginal imediato, mesmo que a price war reduza lucros conjuntos.
Passo 7
Agora (c): suponha que ambas acordem produzir
unidades cada (ou seja,
, total
). Pergunta: Praia tem incentivo para produzir
unidades unilateralmente?
Fixamos
. Para uma escolha geral
, o preço é
O lucro da Praia torna-se
Avalio os valores relevantes:
- Para
(cumprimento do acordo):
- Para
(desvio perguntado):
- Para
(outro desvio possível):
Interpretação:
- Se Praia cumprir e produzir
, obtém . - Se desviar para
, obtém , que é menor. - Curiosamente, diminuir produção para
também lhe daria (mesmo lucro), mas o desvio para piora o lucro.
Passo 8
Conclusão para (c): Não — se ambas acordarem produzir
unidades cada, a Praia não tem incentivo para burlar o acordo produzindo
unidades, porque seu lucro cairia de
para
.
Resposta
(a)
.\n
(b) Sim. Ao desviar de para
unidades (mantendo
) a Praia aumenta seu lucro de
para
.\n
(c) Não. Se ambas produzem cada, a Praia ao produzir
reduziria seu lucro de
para
.
(b) Sim. Ao desviar de
(c) Não. Se ambas produzem